Trojuholník 8 9 11
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 9 c = 11Obsah trojuholníka: S = 35,49664786986
Obvod trojuholníka: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14
Uhol ∠ A = α = 45,81656148467° = 45°48'56″ = 0.87996333279 rad
Uhol ∠ B = β = 53,77884533802° = 53°46'42″ = 0,93986110781 rad
Uhol ∠ C = γ = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,40333482476 rad
Výška trojuholníka: va = 8,87441196746
Výška trojuholníka: vb = 7,88881063775
Výška trojuholníka: vc = 6,45439052179
Ťažnica: ta = 9,22195444573
Ťažnica: tb = 8,5
Ťažnica: tc = 6,5
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,53554627642
Polomer opísanej kružnice: R = 5,57880180812
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[4,72772727273; 6,45439052179]
Ťažisko: T[5,24224242424; 2,15113017393]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 0,93296696802]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,53554627642]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 134,18443851533° = 134°11'4″ = 0.87996333279 rad
∠ B' = β' = 126,22215466198° = 126°13'18″ = 0,93986110781 rad
∠ C' = γ' = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,40333482476 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=9 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+9+11=28
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=228=14
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14(14−8)(14−9)(14−11) S=1260=35,5
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 35,5=8,87 vb=b2 S=92⋅ 35,5=7,89 vc=c2 S=112⋅ 35,5=6,45
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1192+112−82)=45°48′56" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1182+112−92)=53°46′42" γ=180°−α−β=180°−45°48′56"−53°46′42"=80°24′21"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1435,5=2,54
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,535⋅ 148⋅ 9⋅ 11=5,58
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 112−82=9,22 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 82−92=8,5 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 92−112=6,5
Vypočítať ďaľší trojuholník