Trojuholník 8 9 12
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 9 c = 12Obsah trojuholníka: S = 35,9999131934
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Uhol ∠ A = α = 41,80990791939° = 41°48'33″ = 0,73297060892 rad
Uhol ∠ B = β = 48,58988113619° = 48°35'20″ = 0,84880347379 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,60221094442° = 89°36'8″ = 1,56438518265 rad
Výška trojuholníka: va = 98,9997829835
Výška trojuholníka: vb = 87,9998070964
Výška trojuholníka: vc = 65,9998553223
Ťažnica: ta = 9,82334413522
Ťažnica: tb = 9,15215026089
Ťažnica: tc = 6,04215229868
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,48326987541
Polomer opísanej kružnice: R = 66,0001446812
Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[5,29216666667; 65,9998553223]
Ťažisko: T[5,76438888889; 21,9999517741]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; 0,04216676714]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,48326987541]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,19109208061° = 138°11'27″ = 0,73297060892 rad
∠ B' = β' = 131,41111886381° = 131°24'40″ = 0,84880347379 rad
∠ C' = γ' = 90,39878905558° = 90°23'52″ = 1,56438518265 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=9 c=12
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+9+12=29
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−8)(14,5−9)(14,5−12) S=1295,94=36
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 36=9 vb=b2 S=92⋅ 36=8 vc=c2 S=122⋅ 36=6
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1292+122−82)=41°48′33" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1282+122−92)=48°35′20" γ=180°−α−β=180°−41°48′33"−48°35′20"=89°36′8"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=14,536=2,48
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,483⋅ 14,58⋅ 9⋅ 12=6
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 122−82=9,823 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 82−92=9,152 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 92−122=6,042
Vypočítať ďaľší trojuholník