Trojuholník 8 9 12




Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8   b = 9   c = 12

Obsah trojuholníka: S = 35,9999131934
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Uhol ∠ A = α = 41,80990791939° = 41°48'33″ = 0,73297060892 rad
Uhol ∠ B = β = 48,58988113619° = 48°35'20″ = 0,84880347379 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,60221094442° = 89°36'8″ = 1,56438518265 rad

Výška trojuholníka: va = 98,9997829835
Výška trojuholníka: vb = 87,9998070964
Výška trojuholníka: vc = 65,9998553223

Ťažnica: ta = 9,82334413522
Ťažnica: tb = 9,15215026089
Ťažnica: tc = 6,04215229868

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,48326987541
Polomer opísanej kružnice: R = 66,0001446812

Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[5,29216666667; 65,9998553223]
Ťažisko: T[5,76438888889; 21,9999517741]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; 0,04216676714]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,48326987541]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,19109208061° = 138°11'27″ = 0,73297060892 rad
∠ B' = β' = 131,41111886381° = 131°24'40″ = 0,84880347379 rad
∠ C' = γ' = 90,39878905558° = 90°23'52″ = 1,56438518265 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=9 c=12

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=8+9+12=29

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=229=14,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=14,5(14,58)(14,59)(14,512) S=1295,94=36

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=82 36=9 vb=b2 S=92 36=8 vc=c2 S=122 36=6

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 9 1292+12282)=41°4833"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 8 1282+12292)=48°3520" γ=180°αβ=180°41°4833"48°3520"=89°368"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=14,536=2,48

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,483 14,58 9 12=6

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 92+2 12282=9,823 tb=22c2+2a2b2=22 122+2 8292=9,152 tc=22a2+2b2c2=22 82+2 92122=6,042

Vypočítať ďaľší trojuholník