Trojuholník 9 9 10

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 9 c = 10

Obsah trojuholníka: S = 37,41765738677
Obvod trojuholníka: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14

Uhol ∠ A = α = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Uhol ∠ B = β = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Uhol ∠ C = γ = 67,49879771918° = 67°29'53″ = 1,17880619404 rad

Výška trojuholníka: v_a = 8,31547941928
Výška trojuholníka: v_b = 8,31547941928
Výška trojuholníka: v_c = 7,48333147735

Ťažnica: t_a = 8,38215273071
Ťažnica: t_b = 8,38215273071
Ťažnica: t_c = 7,48333147735

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,67326124191
Polomer opísanej kružnice: R = 5,41220401487

Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[5; 7,48333147735]
Ťažisko: T[5; 2,49444382578]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; 2,07112746248]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,67326124191]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ B' = β' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ C' = γ' = 112,50220228082° = 112°30'7″ = 1,17880619404 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 9 c = 10

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 9 + 10 = 28

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 8}{2} = 14

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14 (14 - 9) (14 - 9) (14 - 10) S = 1400 = 37, 42

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 7 , 4 2}{9} = 8, 31 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 7 , 4 2}{9} = 8, 31 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 7 , 4 2}{1 0} = 7, 48

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 0}) = 56 ° 1 5^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 0}) = 56 ° 1 5^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 56 ° 1 5^{'} 4 " - 56 ° 1 5^{'} 4 " = 67 ° 2 9^{'} 53 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 7 , 4 2}{1 4} = 2, 67

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 9 \cdot 1 0}{4 \cdot 2 , 6 7 3 \cdot 1 4} = 5, 41

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 8, 382 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 8, 382 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 7, 483

Vypočítať ďaľší trojuholník