Trojúhelník 1 10 10
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 1
b = 10
c = 10
Obsah trojúhelníku: S = 4,99437460889
Obvod trojúhelníku: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5
Úhel ∠ A = α = 5,73219679652° = 5°43'55″ = 0.11000417136 rad
Úhel ∠ B = β = 87,13440160174° = 87°8'2″ = 1,521077547 rad
Úhel ∠ C = γ = 87,13440160174° = 87°8'2″ = 1,521077547 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 9,98774921777
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 0,99987492178
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 0,99987492178
Těžnice: ta = 9,98774921777
Těžnice: tb = 5,05497524692
Těžnice: tc = 5,05497524692
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,47655948656
Poloměr opsané kružnice: R = 5,00662617432
Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[0,05; 0,99987492178]
Těžiště: T[3,35; 0,33329164059]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 0,25503130872]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,5; 0,47655948656]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 174,26880320348° = 174°16'5″ = 0.11000417136 rad
∠ B' = β' = 92,86659839826° = 92°51'58″ = 1,521077547 rad
∠ C' = γ' = 92,86659839826° = 92°51'58″ = 1,521077547 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=1 b=10 c=10
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=1+10+10=21
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=221=10,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10,5(10,5−1)(10,5−10)(10,5−10) S=24,94=4,99
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=12⋅ 4,99=9,99 vb=b2 S=102⋅ 4,99=1 vc=c2 S=102⋅ 4,99=1
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 10102+102−12)=5°43′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 1⋅ 1012+102−102)=87°8′2" γ=180°−α−β=180°−5°43′55"−87°8′2"=87°8′2"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=10,54,99=0,48
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,476⋅ 10,51⋅ 10⋅ 10=5,01
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 102−12=9,987 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 12−102=5,05 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 12+2⋅ 102−102=5,05
Vypočítat další trojúhelník