Trojúhelník 1 5 5

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 1 b = 5 c = 5

Obsah trojúhelníku: S = 2,48774685928
Obvod trojúhelníku: o = 11
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,5

Úhel ∠ A = α = 11,47883409545° = 11°28'42″ = 0.22003348423 rad
Úhel ∠ B = β = 84,26108295227° = 84°15'39″ = 1,47106289056 rad
Úhel ∠ C = γ = 84,26108295227° = 84°15'39″ = 1,47106289056 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 4,97549371855
Výška trojúhelníku: v_b = 0,99549874371
Výška trojúhelníku: v_c = 0,99549874371

Těžnice: t_a = 4,97549371855
Těžnice: t_b = 2,59880762114
Těžnice: t_c = 2,59880762114

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,45222670169
Poloměr opsané kružnice: R = 2,51325945381

Souřadnice vrcholů: A[5; 0] B[0; 0] C[0,1; 0,99549874371]
Těžiště: T[1,7; 0,3321662479]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,5; 0,25112594538]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,5; 0,45222670169]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 168,52216590455° = 168°31'18″ = 0.22003348423 rad
∠ B' = β' = 95,73991704773° = 95°44'21″ = 1,47106289056 rad
∠ C' = γ' = 95,73991704773° = 95°44'21″ = 1,47106289056 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 1 b = 5 c = 5

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 1 + 5 + 5 = 11

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1}{2} = 5, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 5, 5 (5, 5 - 1) (5, 5 - 5) (5, 5 - 5) S = 6, 19 = 2, 49

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 , 4 9}{1} = 4, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 , 4 9}{5} = 0, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 , 4 9}{5} = 0, 99

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 5 ^{2} - 1 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 5}) = 11 ° 2 8^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 ^{2} + 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 \cdot 5}) = 84 ° 1 5^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 11 ° 2 8^{'} 42 " - 84 ° 1 5^{'} 39 " = 84 ° 1 5^{'} 39 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 , 4 9}{5 , 5} = 0, 45

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 5}{4 \cdot 0 , 4 5 2 \cdot 5 , 5} = 2, 51

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 ^{2}}{2} = 4, 975 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 2, 598 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 2, 598

Vypočítat další trojúhelník