Trojúhelník 2 4 5
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 2 b = 4 c = 5Obsah trojúhelníku: S = 3.87996710384
Obvod trojúhelníku: o = 11
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,5
Úhel ∠ A = α = 22,33216450092° = 22°19'54″ = 0,39897607328 rad
Úhel ∠ B = β = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 0,86332118901 rad
Úhel ∠ C = γ = 108,21099568643° = 108°12'36″ = 1,88986200307 rad
Výška trojúhelníku: va = 3.87996710384
Výška trojúhelníku: vb = 1.98998355192
Výška trojúhelníku: vc = 1,52198684154
Těžnice: ta = 4,41658804332
Těžnice: tb = 3,24403703492
Těžnice: tc = 1,93664916731
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,69108492797
Poloměr opsané kružnice: R = 2,63218067798
Souřadnice vrcholů: A[5; 0] B[0; 0] C[1,3; 1,52198684154]
Těžiště: T[2,1; 0,50766228051]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,5; -0,82224396187]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,69108492797]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 157,66883549908° = 157°40'6″ = 0,39897607328 rad
∠ B' = β' = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 0,86332118901 rad
∠ C' = γ' = 71,79900431357° = 71°47'24″ = 1,88986200307 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=4 c=5
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=2+4+5=11
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=211=5,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=5,5(5,5−2)(5,5−4)(5,5−5) S=14,44=3,8
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 3,8=3,8 vb=b2 S=42⋅ 3,8=1,9 vc=c2 S=52⋅ 3,8=1,52
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 4⋅ 542+52−22)=22°19′54" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 522+52−42)=49°27′30" γ=180°−α−β=180°−22°19′54"−49°27′30"=108°12′36"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=5,53,8=0,69
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,691⋅ 5,52⋅ 4⋅ 5=2,63
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 42+2⋅ 52−22=4,416 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 52+2⋅ 22−42=3,24 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 42−52=1,936
Vypočítat další trojúhelník