Trojúhelník 2 5 5

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 2 b = 5 c = 5

Obsah trojúhelníku: S = 4,89989794856
Obvod trojúhelníku: o = 12
Semiperimeter (poloobvod): s = 6

Úhel ∠ A = α = 23,07439180656° = 23°4'26″ = 0,40327158416 rad
Úhel ∠ B = β = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,3699438406 rad
Úhel ∠ C = γ = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,3699438406 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 4,89989794856
Výška trojúhelníku: v_b = 1,96595917942
Výška trojúhelníku: v_c = 1,96595917942

Těžnice: t_a = 4,89989794856
Těžnice: t_b = 2,87222813233
Těžnice: t_c = 2,87222813233

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,81664965809
Poloměr opsané kružnice: R = 2,55215518154

Souřadnice vrcholů: A[5; 0] B[0; 0] C[0,4; 1,96595917942]
Těžiště: T[1,8; 0,65331972647]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,5; 0,51103103631]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1; 0,81664965809]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 156,92660819344° = 156°55'34″ = 0,40327158416 rad
∠ B' = β' = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,3699438406 rad
∠ C' = γ' = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,3699438406 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 2 b = 5 c = 5

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 2 + 5 + 5 = 12

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 2}{2} = 6

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 6 (6 - 2) (6 - 5) (6 - 5) S = 24 = 4, 9

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 , 9}{2} = 4, 9 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 , 9}{5} = 1, 96 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 , 9}{5} = 1, 96

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 5 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 5}) = 23 ° 4^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 5}) = 78 ° 2 7^{'} 47 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 23 ° 4^{'} 26 " - 78 ° 2 7^{'} 47 " = 78 ° 2 7^{'} 47 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 , 9}{6} = 0, 82

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 5}{4 \cdot 0 , 8 1 6 \cdot 6} = 2, 55

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 4, 899 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 2, 872 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 2, 872

Vypočítat další trojúhelník