Trojúhelník 3 5 7
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 3 b = 5 c = 7Obsah trojúhelníku: S = 6,49551905284
Obvod trojúhelníku: o = 15
Semiperimeter (poloobvod): s = 7,5
Úhel ∠ A = α = 21,78767892983° = 21°47'12″ = 0,38802512067 rad
Úhel ∠ B = β = 38,21332107017° = 38°12'48″ = 0,66769463445 rad
Úhel ∠ C = γ = 120° = 2,09443951024 rad
Výška trojúhelníku: va = 4,33301270189
Výška trojúhelníku: vb = 2,59880762114
Výška trojúhelníku: vc = 1,85657687224
Těžnice: ta = 5,89549130613
Těžnice: tb = 4,77696960071
Těžnice: tc = 2,17994494718
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,86660254038
Poloměr opsané kružnice: R = 4,04114518843
Souřadnice vrcholů: A[7; 0] B[0; 0] C[2,35771428571; 1,85657687224]
Těžiště: T[3,1199047619; 0,61985895741]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,5; -2,02107259422]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 0,86660254038]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 158,21332107017° = 158°12'48″ = 0,38802512067 rad
∠ B' = β' = 141,78767892983° = 141°47'12″ = 0,66769463445 rad
∠ C' = γ' = 60° = 2,09443951024 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=5 c=7
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=3+5+7=15
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=215=7,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=7,5(7,5−3)(7,5−5)(7,5−7) S=42,19=6,5
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 6,5=4,33 vb=b2 S=52⋅ 6,5=2,6 vc=c2 S=72⋅ 6,5=1,86
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 5⋅ 752+72−32)=21°47′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 732+72−52)=38°12′48" γ=180°−α−β=180°−21°47′12"−38°12′48"=120°
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=7,56,5=0,87
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,866⋅ 7,53⋅ 5⋅ 7=4,04
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 52+2⋅ 72−32=5,895 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 72+2⋅ 32−52=4,77 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 52−72=2,179
Vypočítat další trojúhelník