Trojúhelník 3 6 6
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Strany: a = 3 b = 6 c = 6Obsah trojúhelníku: S = 8,7144212529
Obvod trojúhelníku: o = 15
Semiperimeter (poloobvod): s = 7,5
Úhel ∠ A = α = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Úhel ∠ B = β = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,31881160717 rad
Úhel ∠ C = γ = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,31881160717 rad
Výška trojúhelníku: va = 5,80994750193
Výška trojúhelníku: vb = 2,90547375097
Výška trojúhelníku: vc = 2,90547375097
Těžnice: ta = 5,80994750193
Těžnice: tb = 3,67442346142
Těžnice: tc = 3,67442346142
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,16218950039
Poloměr opsané kružnice: R = 3,0988386677
Souřadnice vrcholů: A[6; 0] B[0; 0] C[0,75; 2,90547375097]
Těžiště: T[2,25; 0,96882458366]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3; 0,77545966692]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 1,16218950039]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ B' = β' = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,31881160717 rad
∠ C' = γ' = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,31881160717 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=6 c=6
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=3+6+6=15
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=215=7,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=7,5(7,5−3)(7,5−6)(7,5−6) S=75,94=8,71
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 8,71=5,81 vb=b2 S=62⋅ 8,71=2,9 vc=c2 S=62⋅ 8,71=2,9
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 662+62−32)=28°57′18" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 632+62−62)=75°31′21" γ=180°−α−β=180°−28°57′18"−75°31′21"=75°31′21"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=7,58,71=1,16
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,162⋅ 7,53⋅ 6⋅ 6=3,1
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 62−32=5,809 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 62+2⋅ 32−62=3,674 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 62−62=3,674
Vypočítat další trojúhelník