Trojúhelník 3 7 7
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 3
b = 7
c = 7
Obsah trojúhelníku: S = 10,25660957484
Obvod trojúhelníku: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5
Úhel ∠ A = α = 24,74772502324° = 24°44'50″ = 0,43219209974 rad
Úhel ∠ B = β = 77,62663748838° = 77°37'35″ = 1,35548358281 rad
Úhel ∠ C = γ = 77,62663748838° = 77°37'35″ = 1,35548358281 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 6,83773971656
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 2,9330313071
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,9330313071
Těžnice: ta = 6,83773971656
Těžnice: tb = 4,09326763859
Těžnice: tc = 4,09326763859
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,20765994998
Poloměr opsané kružnice: R = 3,58332348782
Souřadnice vrcholů: A[7; 0] B[0; 0] C[0,64328571429; 2,9330313071]
Těžiště: T[2,54876190476; 0,97767710237]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,5; 0,76878360453]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 1,20765994998]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 155,25327497676° = 155°15'10″ = 0,43219209974 rad
∠ B' = β' = 102,37436251162° = 102°22'25″ = 1,35548358281 rad
∠ C' = γ' = 102,37436251162° = 102°22'25″ = 1,35548358281 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=7 c=7
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=3+7+7=17
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=217=8,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8,5(8,5−3)(8,5−7)(8,5−7) S=105,19=10,26
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 10,26=6,84 vb=b2 S=72⋅ 10,26=2,93 vc=c2 S=72⋅ 10,26=2,93
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 772+72−32)=24°44′50" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 732+72−72)=77°37′35" γ=180°−α−β=180°−24°44′50"−77°37′35"=77°37′35"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=8,510,26=1,21
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,207⋅ 8,53⋅ 7⋅ 7=3,58
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 72−32=6,837 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 72+2⋅ 32−72=4,093 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 72−72=4,093
Vypočítat další trojúhelník