Trojúhelník 4 4 5




Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 4   b = 4   c = 5

Obsah trojúhelníku: S = 7,8066247498
Obvod trojúhelníku: o = 13
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,5

Úhel ∠ A = α = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 0,89656647939 rad
Úhel ∠ B = β = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 0,89656647939 rad
Úhel ∠ C = γ = 77,3644374907° = 77°21'52″ = 1,35502630659 rad

Výška trojúhelníku: va = 3,9033123749
Výška trojúhelníku: vb = 3,9033123749
Výška trojúhelníku: vc = 3,12224989992

Těžnice: ta = 4,06220192023
Těžnice: tb = 4,06220192023
Těžnice: tc = 3,12224989992

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,20109611535
Poloměr opsané kružnice: R = 2,56220504609

Souřadnice vrcholů: A[5; 0] B[0; 0] C[2,5; 3,12224989992]
Těžiště: T[2,5; 1,04108329997]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,5; 0,56604485383]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,20109611535]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 0,89656647939 rad
∠ B' = β' = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 0,89656647939 rad
∠ C' = γ' = 102,6365625093° = 102°38'8″ = 1,35502630659 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=4 c=5

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=4+4+5=13

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=213=6,5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=6,5(6,54)(6,54)(6,55) S=60,94=7,81

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=42 7,81=3,9 vb=b2 S=42 7,81=3,9 vc=c2 S=52 7,81=3,12

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 4 542+5242)=51°194"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 4 542+5242)=51°194" γ=180°αβ=180°51°194"51°194"=77°2152"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=6,57,81=1,2

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 1,201 6,54 4 5=2,56

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 42+2 5242=4,062 tb=22c2+2a2b2=22 52+2 4242=4,062 tc=22a2+2b2c2=22 42+2 4252=3,122

Vypočítat další trojúhelník