Trojúhelník 4 5 5
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Strany: a = 4 b = 5 c = 5Obsah trojúhelníku: S = 9,16551513899
Obvod trojúhelníku: o = 14
Semiperimeter (poloobvod): s = 7
Úhel ∠ A = α = 47,15663569564° = 47°9'23″ = 0,82330336921 rad
Úhel ∠ B = β = 66,42218215218° = 66°25'19″ = 1,15992794807 rad
Úhel ∠ C = γ = 66,42218215218° = 66°25'19″ = 1,15992794807 rad
Výška trojúhelníku: va = 4,5832575695
Výška trojúhelníku: vb = 3,6666060556
Výška trojúhelníku: vc = 3,6666060556
Těžnice: ta = 4,5832575695
Těžnice: tb = 3,77549172176
Těžnice: tc = 3,77549172176
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,30993073414
Poloměr opsané kružnice: R = 2,72877236279
Souřadnice vrcholů: A[5; 0] B[0; 0] C[1,6; 3,6666060556]
Těžiště: T[2,2; 1,22220201853]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,5; 1,09110894512]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 1,30993073414]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 132,84436430436° = 132°50'37″ = 0,82330336921 rad
∠ B' = β' = 113,57881784782° = 113°34'41″ = 1,15992794807 rad
∠ C' = γ' = 113,57881784782° = 113°34'41″ = 1,15992794807 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=5 c=5
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+5+5=14
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=214=7
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=7(7−4)(7−5)(7−5) S=84=9,17
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 9,17=4,58 vb=b2 S=52⋅ 9,17=3,67 vc=c2 S=52⋅ 9,17=3,67
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 5⋅ 552+52−42)=47°9′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 542+52−52)=66°25′19" γ=180°−α−β=180°−47°9′23"−66°25′19"=66°25′19"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=79,17=1,31
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,309⋅ 74⋅ 5⋅ 5=2,73
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 52+2⋅ 52−42=4,583 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 52+2⋅ 42−52=3,775 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 52−52=3,775
Vypočítat další trojúhelník