Trojúhelník 4 5 8

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 4 b = 5 c = 8

Obsah trojúhelníku: S = 8,1821534086
Obvod trojúhelníku: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5

Úhel ∠ A = α = 24,14768479965° = 24°8'49″ = 0,42114420015 rad
Úhel ∠ B = β = 30,75435198081° = 30°45'13″ = 0,53767501772 rad
Úhel ∠ C = γ = 125.10996321954° = 125°5'59″ = 2,18334004748 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 4,0910767043
Výška trojúhelníku: v_b = 3,27326136344
Výška trojúhelníku: v_c = 2,04553835215

Těžnice: t_a = 6,36439610307
Těžnice: t_b = 5,80994750193
Těžnice: t_c = 2,12113203436

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,96325334219
Poloměr opsané kružnice: R = 4,88990586508

Souřadnice vrcholů: A[8; 0] B[0; 0] C[3,43875; 2,04553835215]
Těžiště: T[3,81325; 0,68217945072]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4; -2,81112087242]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 0,96325334219]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 155,85331520035° = 155°51'11″ = 0,42114420015 rad
∠ B' = β' = 149,24664801919° = 149°14'47″ = 0,53767501772 rad
∠ C' = γ' = 54.99003678046° = 54°54'1″ = 2,18334004748 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4 b = 5 c = 8

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4 + 5 + 8 = 17

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 7}{2} = 8, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 8, 5 (8, 5 - 4) (8, 5 - 5) (8, 5 - 8) S = 66, 94 = 8, 18

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 , 1 8}{4} = 4, 09 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 , 1 8}{5} = 3, 27 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 , 1 8}{8} = 2, 05

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 8 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 8}) = 24 ° 8^{'} 49 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 8}) = 30 ° 4 5^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 24 ° 8^{'} 49 " - 30 ° 4 5^{'} 13 " = 125 ° 5^{'} 59 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 , 1 8}{8 , 5} = 0, 96

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 0 , 9 6 3 \cdot 8 , 5} = 4, 89

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 6, 364 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 5, 809 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 2, 121

Vypočítat další trojúhelník