Trojúhelník 4 7 9
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 4 b = 7 c = 9Obsah trojúhelníku: S = 13,4166407865
Obvod trojúhelníku: o = 20
Semiperimeter (poloobvod): s = 10
Úhel ∠ A = α = 25,20987652968° = 25°12'32″ = 0,44399759548 rad
Úhel ∠ B = β = 48,19896851042° = 48°11'23″ = 0,84110686706 rad
Úhel ∠ C = γ = 106,6021549599° = 106°36'6″ = 1,86105480282 rad
Výška trojúhelníku: va = 6,70882039325
Výška trojúhelníku: vb = 3,833325939
Výška trojúhelníku: vc = 2,981142397
Těžnice: ta = 7,81102496759
Těžnice: tb = 6,02107972894
Těžnice: tc = 3,5
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,34216407865
Poloměr opsané kružnice: R = 4,69657427527
Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[2,66766666667; 2,981142397]
Těžiště: T[3,88988888889; 0,994380799]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; -1,34216407865]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,34216407865]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 154,79112347032° = 154°47'28″ = 0,44399759548 rad
∠ B' = β' = 131,81103148958° = 131°48'37″ = 0,84110686706 rad
∠ C' = γ' = 73,3988450401° = 73°23'54″ = 1,86105480282 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=7 c=9
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+7+9=20
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=220=10
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10(10−4)(10−7)(10−9) S=180=13,42
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 13,42=6,71 vb=b2 S=72⋅ 13,42=3,83 vc=c2 S=92⋅ 13,42=2,98
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 972+92−42)=25°12′32" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 942+92−72)=48°11′23" γ=180°−α−β=180°−25°12′32"−48°11′23"=106°36′6"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1013,42=1,34
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,342⋅ 104⋅ 7⋅ 9=4,7
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 92−42=7,81 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 42−72=6,021 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 72−92=3,5
Vypočítat další trojúhelník