Trojúhelník 4 8 10
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 4 b = 8 c = 10Obsah trojúhelníku: S = 15,19986841536
Obvod trojúhelníku: o = 22
Semiperimeter (poloobvod): s = 11
Úhel ∠ A = α = 22,33216450092° = 22°19'54″ = 0,39897607328 rad
Úhel ∠ B = β = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 0,86332118901 rad
Úhel ∠ C = γ = 108,21099568643° = 108°12'36″ = 1,88986200307 rad
Výška trojúhelníku: va = 7,59993420768
Výška trojúhelníku: vb = 3.87996710384
Výška trojúhelníku: vc = 3,04397368307
Těžnice: ta = 8,83217608663
Těžnice: tb = 6,48107406984
Těžnice: tc = 3,87329833462
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,38216985594
Poloměr opsané kružnice: R = 5,26436135597
Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[2,6; 3,04397368307]
Těžiště: T[4,2; 1,01332456102]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; -1,64548792374]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,38216985594]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 157,66883549908° = 157°40'6″ = 0,39897607328 rad
∠ B' = β' = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 0,86332118901 rad
∠ C' = γ' = 71,79900431357° = 71°47'24″ = 1,88986200307 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=8 c=10
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+8+10=22
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=222=11
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11(11−4)(11−8)(11−10) S=231=15,2
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 15,2=7,6 vb=b2 S=82⋅ 15,2=3,8 vc=c2 S=102⋅ 15,2=3,04
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1082+102−42)=22°19′54" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1042+102−82)=49°27′30" γ=180°−α−β=180°−22°19′54"−49°27′30"=108°12′36"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1115,2=1,38
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,382⋅ 114⋅ 8⋅ 10=5,26
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 102−42=8,832 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 42−82=6,481 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 82−102=3,873
Vypočítat další trojúhelník