Trojúhelník 5 10 13
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 5
b = 10
c = 13
Obsah trojúhelníku: S = 22,45499443206
Obvod trojúhelníku: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14
Úhel ∠ A = α = 20,20552235834° = 20°12'19″ = 0,35326476776 rad
Úhel ∠ B = β = 43,69108952793° = 43°41'27″ = 0,76325499758 rad
Úhel ∠ C = γ = 116,10438811373° = 116°6'14″ = 2,02663950002 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 8,98799777283
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,49899888641
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,45438375878
Těžnice: ta = 11,32547516529
Těžnice: tb = 8,48552813742
Těžnice: tc = 4,5
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,60435674515
Poloměr opsané kružnice: R = 7,23883253018
Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[3,61553846154; 3,45438375878]
Těžiště: T[5,53884615385; 1,15112791959]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; -3,18548631328]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 1,60435674515]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 159,79547764166° = 159°47'41″ = 0,35326476776 rad
∠ B' = β' = 136,30991047207° = 136°18'33″ = 0,76325499758 rad
∠ C' = γ' = 63,89661188627° = 63°53'46″ = 2,02663950002 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=10 c=13
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+10+13=28
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=228=14
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14(14−5)(14−10)(14−13) S=504=22,45
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 22,45=8,98 vb=b2 S=102⋅ 22,45=4,49 vc=c2 S=132⋅ 22,45=3,45
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 13102+132−52)=20°12′19" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1352+132−102)=43°41′27" γ=180°−α−β=180°−20°12′19"−43°41′27"=116°6′14"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1422,45=1,6
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,604⋅ 145⋅ 10⋅ 13=7,24
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 132−52=11,325 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 52−102=8,485 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 102−132=4,5
Vypočítat další trojúhelník