Trojúhelník 6 11 11
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Strany: a = 6 b = 11 c = 11Obsah trojúhelníku: S = 31,74990157328
Obvod trojúhelníku: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14
Úhel ∠ A = α = 31,65332402637° = 31°39'12″ = 0,55224532615 rad
Úhel ∠ B = β = 74,17333798681° = 74°10'24″ = 1,2954569696 rad
Úhel ∠ C = γ = 74,17333798681° = 74°10'24″ = 1,2954569696 rad
Výška trojúhelníku: va = 10,58330052443
Výška trojúhelníku: vb = 5,77325483151
Výška trojúhelníku: vc = 5,77325483151
Těžnice: ta = 10,58330052443
Těžnice: tb = 6,94662219947
Těžnice: tc = 6,94662219947
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,26877868381
Poloměr opsané kružnice: R = 5,71767126543
Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[1,63663636364; 5,77325483151]
Těžiště: T[4,21221212121; 1,92441827717]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; 1,55991034512]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 2,26877868381]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,34767597363° = 148°20'48″ = 0,55224532615 rad
∠ B' = β' = 105,82766201319° = 105°49'36″ = 1,2954569696 rad
∠ C' = γ' = 105,82766201319° = 105°49'36″ = 1,2954569696 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=11 c=11
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=6+11+11=28
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=228=14
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14(14−6)(14−11)(14−11) S=1008=31,75
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 31,75=10,58 vb=b2 S=112⋅ 31,75=5,77 vc=c2 S=112⋅ 31,75=5,77
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 11112+112−62)=31°39′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1162+112−112)=74°10′24" γ=180°−α−β=180°−31°39′12"−74°10′24"=74°10′24"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1431,75=2,27
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,268⋅ 146⋅ 11⋅ 11=5,72
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 112−62=10,583 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 62−112=6,946 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 112−112=6,946
Vypočítat další trojúhelník