Trojúhelník 7 7 12
Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.
Strany: a = 7 b = 7 c = 12Obsah trojúhelníku: S = 21,63333076528
Obvod trojúhelníku: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13
Úhel ∠ A = α = 31,00327191339° = 31°10″ = 0,5411099526 rad
Úhel ∠ B = β = 31,00327191339° = 31°10″ = 0,5411099526 rad
Úhel ∠ C = γ = 117,99545617323° = 117°59'40″ = 2,05993936017 rad
Výška trojúhelníku: va = 6,18109450437
Výška trojúhelníku: vb = 6,18109450437
Výška trojúhelníku: vc = 3,60655512755
Těžnice: ta = 9,17987798753
Těžnice: tb = 9,17987798753
Těžnice: tc = 3,60655512755
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,66441005887
Poloměr opsané kružnice: R = 6,79550774038
Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[6; 3,60655512755]
Těžiště: T[6; 1,20218504252]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -3,19895261283]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 1,66441005887]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,99772808661° = 148°59'50″ = 0,5411099526 rad
∠ B' = β' = 148,99772808661° = 148°59'50″ = 0,5411099526 rad
∠ C' = γ' = 62,00554382677° = 62°20″ = 2,05993936017 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=7 c=12
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+7+12=26
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=226=13
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13(13−7)(13−7)(13−12) S=468=21,63
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 21,63=6,18 vb=b2 S=72⋅ 21,63=6,18 vc=c2 S=122⋅ 21,63=3,61
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1272+122−72)=31°10" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1272+122−72)=31°10" γ=180°−α−β=180°−31°10"−31°10"=117°59′40"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1321,63=1,66
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,664⋅ 137⋅ 7⋅ 12=6,8
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 122−72=9,179 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 72−72=9,179 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 72−122=3,606
Vypočítat další trojúhelník