Trojúhelník 7 8 10
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 7 b = 8 c = 10Obsah trojúhelníku: S = 27,81107443266
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Úhel ∠ A = α = 44,04986256741° = 44°2'55″ = 0,7698793549 rad
Úhel ∠ B = β = 52,61768015821° = 52°37' = 0,91883364295 rad
Úhel ∠ C = γ = 83,33545727438° = 83°20'4″ = 1,45444626751 rad
Výška trojúhelníku: va = 7,94659269505
Výška trojúhelníku: vb = 6,95326860817
Výška trojúhelníku: vc = 5,56221488653
Těžnice: ta = 8,35216465442
Těžnice: tb = 7,64985292704
Těžnice: tc = 5,61224860802
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,22548595461
Poloměr opsané kružnice: R = 5,03440256397
Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[4,25; 5,56221488653]
Těžiště: T[4,75; 1,85440496218]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 0,58443065475]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 2,22548595461]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135,95113743259° = 135°57'5″ = 0,7698793549 rad
∠ B' = β' = 127,38331984179° = 127°23' = 0,91883364295 rad
∠ C' = γ' = 96,66554272562° = 96°39'56″ = 1,45444626751 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=8 c=10
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+8+10=25
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−7)(12,5−8)(12,5−10) S=773,44=27,81
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 27,81=7,95 vb=b2 S=82⋅ 27,81=6,95 vc=c2 S=102⋅ 27,81=5,56
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1082+102−72)=44°2′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1072+102−82)=52°37′ γ=180°−α−β=180°−44°2′55"−52°37′=83°20′4"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=12,527,81=2,22
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,225⋅ 12,57⋅ 8⋅ 10=5,03
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 102−72=8,352 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 72−82=7,649 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 82−102=5,612
Vypočítat další trojúhelník