Trojúhelník 7 8 9
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 7 b = 8 c = 9Obsah trojúhelníku: S = 26,833281573
Obvod trojúhelníku: o = 24
Semiperimeter (poloobvod): s = 12
Úhel ∠ A = α = 48,19896851042° = 48°11'23″ = 0,84110686706 rad
Úhel ∠ B = β = 58,41218644948° = 58°24'43″ = 1,01994793577 rad
Úhel ∠ C = γ = 73,3988450401° = 73°23'54″ = 1,28110446254 rad
Výška trojúhelníku: va = 7,667651878
Výška trojúhelníku: vb = 6,70882039325
Výška trojúhelníku: vc = 5,963284794
Těžnice: ta = 7,76220873481
Těžnice: tb = 7
Těžnice: tc = 6,02107972894
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,23660679775
Poloměr opsané kružnice: R = 4,69657427527
Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[3,66766666667; 5,963284794]
Těžiště: T[4,22222222222; 1,988761598]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; 1,34216407865]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 2,23660679775]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 131,81103148958° = 131°48'37″ = 0,84110686706 rad
∠ B' = β' = 121,58881355052° = 121°35'17″ = 1,01994793577 rad
∠ C' = γ' = 106,6021549599° = 106°36'6″ = 1,28110446254 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=8 c=9
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+8+9=24
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=224=12
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12(12−7)(12−8)(12−9) S=720=26,83
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 26,83=7,67 vb=b2 S=82⋅ 26,83=6,71 vc=c2 S=92⋅ 26,83=5,96
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 982+92−72)=48°11′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 972+92−82)=58°24′43" γ=180°−α−β=180°−48°11′23"−58°24′43"=73°23′54"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1226,83=2,24
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,236⋅ 127⋅ 8⋅ 9=4,7
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 92−72=7,762 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 72−82=7 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 82−92=6,021
Vypočítat další trojúhelník