Trojúhelník 7 9 9
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 7
b = 9
c = 9
Obsah trojúhelníku: S = 29,02204669156
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Úhel ∠ A = α = 45,77107609523° = 45°46'15″ = 0,79988504798 rad
Úhel ∠ B = β = 67,11546195238° = 67°6'53″ = 1,17113710869 rad
Úhel ∠ C = γ = 67,11546195238° = 67°6'53″ = 1,17113710869 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 8,29215619759
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 6,44989926479
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,44989926479
Těžnice: ta = 8,29215619759
Těžnice: tb = 6,69895440801
Těžnice: tc = 6,69895440801
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,32216373532
Poloměr opsané kružnice: R = 4,88444837822
Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[2,72222222222; 6,44989926479]
Těžiště: T[3,90774074074; 2,1549664216]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; 1.98995214708]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 2,32216373532]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 134,22992390477° = 134°13'45″ = 0,79988504798 rad
∠ B' = β' = 112,88553804762° = 112°53'7″ = 1,17113710869 rad
∠ C' = γ' = 112,88553804762° = 112°53'7″ = 1,17113710869 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=9 c=9
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+9+9=25
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−7)(12,5−9)(12,5−9) S=842,19=29,02
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 29,02=8,29 vb=b2 S=92⋅ 29,02=6,45 vc=c2 S=92⋅ 29,02=6,45
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 992+92−72)=45°46′15" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 972+92−92)=67°6′53" γ=180°−α−β=180°−45°46′15"−67°6′53"=67°6′53"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=12,529,02=2,32
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,322⋅ 12,57⋅ 9⋅ 9=4,88
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 92−72=8,292 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 72−92=6,69 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 92−92=6,69
Vypočítat další trojúhelník