Trojúhelník 8 9 11
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 8 b = 9 c = 11Obsah trojúhelníku: S = 35,49664786986
Obvod trojúhelníku: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14
Úhel ∠ A = α = 45,81656148467° = 45°48'56″ = 0.87996333279 rad
Úhel ∠ B = β = 53,77884533802° = 53°46'42″ = 0,93986110781 rad
Úhel ∠ C = γ = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,40333482476 rad
Výška trojúhelníku: va = 8,87441196746
Výška trojúhelníku: vb = 7,88881063775
Výška trojúhelníku: vc = 6,45439052179
Těžnice: ta = 9,22195444573
Těžnice: tb = 8,5
Těžnice: tc = 6,5
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,53554627642
Poloměr opsané kružnice: R = 5,57880180812
Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[4,72772727273; 6,45439052179]
Těžiště: T[5,24224242424; 2,15113017393]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; 0,93296696802]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 2,53554627642]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 134,18443851533° = 134°11'4″ = 0.87996333279 rad
∠ B' = β' = 126,22215466198° = 126°13'18″ = 0,93986110781 rad
∠ C' = γ' = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,40333482476 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=9 c=11
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+9+11=28
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=228=14
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14(14−8)(14−9)(14−11) S=1260=35,5
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 35,5=8,87 vb=b2 S=92⋅ 35,5=7,89 vc=c2 S=112⋅ 35,5=6,45
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1192+112−82)=45°48′56" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1182+112−92)=53°46′42" γ=180°−α−β=180°−45°48′56"−53°46′42"=80°24′21"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1435,5=2,54
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,535⋅ 148⋅ 9⋅ 11=5,58
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 112−82=9,22 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 82−92=8,5 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 92−112=6,5
Vypočítat další trojúhelník