Trojúhelník 9 9 10




Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 9   b = 9   c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 37,41765738677
Obvod trojúhelníku: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14

Úhel ∠ A = α = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Úhel ∠ B = β = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Úhel ∠ C = γ = 67,49879771918° = 67°29'53″ = 1,17880619404 rad

Výška trojúhelníku: va = 8,31547941928
Výška trojúhelníku: vb = 8,31547941928
Výška trojúhelníku: vc = 7,48333147735

Těžnice: ta = 8,38215273071
Těžnice: tb = 8,38215273071
Těžnice: tc = 7,48333147735

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,67326124191
Poloměr opsané kružnice: R = 5,41220401487

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[5; 7,48333147735]
Těžiště: T[5; 2,49444382578]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 2,07112746248]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 2,67326124191]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ B' = β' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ C' = γ' = 112,50220228082° = 112°30'7″ = 1,17880619404 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=9 b=9 c=10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=9+9+10=28

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=228=14

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=14(149)(149)(1410) S=1400=37,42

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=92 37,42=8,31 vb=b2 S=92 37,42=8,31 vc=c2 S=102 37,42=7,48

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 9 1092+10292)=56°154"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 9 1092+10292)=56°154" γ=180°αβ=180°56°154"56°154"=67°2953"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=1437,42=2,67

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 2,673 149 9 10=5,41

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 92+2 10292=8,382 tb=22c2+2a2b2=22 102+2 9292=8,382 tc=22a2+2b2c2=22 92+2 92102=7,483

Vypočítat další trojúhelník