Kombinatorická kalkulačka

Kalkulačka vypočíta koľkými rôznymi spôsobmi sa dajú vybrať k prvkov z množiny n prvkov. S/bez uvažovania poradia, s/bez opakovania. Vypočíta počet variácií, permutácií, kombinácií, variácií s opakovaním a kombinácií s opakovaním:

(n)
(k)

Výpočet:

Ck​(n)=(kn​)=k!(n−k)!n!​  n=10 k=4  C4​(10)=(410​)=4!(10−4)!10!​=4⋅3⋅2⋅110⋅9⋅8⋅7​=210

Počet kombinácií: 210



Trošku teórie - základy kombinatoriky

Variácie

Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine (preto usporiadaná).

Počet variácií vypočítame ľahko použitím kombinatorického pravidla súčinu. Ak máme napríklad množinu n=5 čísel 1,2,3,4,5 a máme urobiť variácie tretej triedy, bude ich V3(5) = 5*4*3 = 60.

Vk​(n)=n(n−1)(n−2)...(n−k+1)=(n−k)!n!​

n! voláme faktoriál čísla n a je to súčin prvých n prirodzených čísel. Zápis s faktoriálom je len prehľadnejší, ekvivalentný, pre výpočty je plne postačujúce používať postup vyplývajúci z kombinatorického pravidla súčinu.

Permutácie

Permutácia je synonymický názov pre variáciu n-tej triedy z n-prvkov. Je to teda každá n-prvková usporiadaná skupina vytvorená z n-prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine.

P(n)=n(n−1)(n−2)...1=n!

Typický príklad je: Máme 4 knihy a koľkými spôsobmi ich môžme usporiadať vedľa seba v poličke?

Variácie s opakovaním

Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorených z množiny n prvkov, pričom prvky sa môžu opakovať a záleží na ich poradí. Typickým príkladom je tvorenie čísel z číslic 2,3,4,5 a zistenie ich počtu. Ich počet podľa kombinatorického pravidla súčinu vypočítame:

Vk′​(n)=n⋅n⋅n⋅n...n=nk

Permutácie s opakovaním

Permutácia s opakovaním je usporiadaná k-prvková skupina z n-prvkov, pričom niektoré prvky sa opakujú v skupine. Opakovanie niektorých (alebo všetkých v skupine) znižuje počet takýchto permutácií s opakovaním.

Pk1​k2​k3​...km​′​(n)=k1​!k2​!k3​!...km​!n!​

Typický príklad je zistiť koľko je sedemmiestnych čísel utvorených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.

Kombinácie

Kombinácia k-tej triedy z n prvkov je neusporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a nezáleži na poradí prvkov v skupine. Neusporiadané skupiny sa v matematike volajú množiny resp. podmnožiny. Ich počet je kombinačné číslo a vypočíta sa takto:

Ck​(n)=(kn​)=k!(n−k)!n!​

Typický príklad na kombinácie je že máme 15 žiakov a máme vybrať trojice. Koľko ich bude?

Kombinácie s opakovaním

Tu vyberáme k prvkové skupiny z n prvkov, pričom nezáleží na poradí a prvky sa môžu opakovať. k je logicky väčšie ako n (inak by sme dostali kombinácie obyčajné). Ich počet je:

Ck′​(n)=(kn+k−1​)=k!(n−1)!(n+k−1)!​

Vysvetlenie vzorca - počet kombinácii s opakovaním sa rovná počtu umiestnení n−1 oddeľovačov na n-1+k miest. Typický príklad je: ideme si do obchodu kúpiť 6 čokolád. V ponuke majú len 3 druhy. Koľko máme možností? k=6, n=3..

Základy kombinatoriky v slovných úlohách



slovné úlohy - viacej »