Kombinatorická kalkulačka

Kalkulačka vypočíta koľkými rôznymi spôsobmi sa dajú vybrať k prvkov z množiny n prvkov. S/bez uvažovania poradia, s/bez opakovania. Vypočíta počet variácií, permutácií, kombinácií, variácií s opakovaním a kombinácií s opakovaním:

Výpočet:

C_{k} (n) = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} n = 10 k = 4 C_{4} (10) = (\binom{10}{4}) = \frac{10!}{4! (10 - 4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210

Počet kombinácií: 210

Trošku teórie - základy kombinatoriky

Variácie

Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine (preto usporiadaná).

Počet variácií vypočítame ľahko použitím kombinatorického pravidla súčinu. Ak máme napríklad množinu n=5 čísel 1,2,3,4,5 a máme urobiť variácie tretej triedy, bude ich V₃(5) = 5*4*3 = 60.

V_{k} (n) = n (n - 1) (n - 2) . . . (n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}

n! voláme faktoriál čísla n a je to súčin prvých n prirodzených čísel. Zápis s faktoriálom je len prehľadnejší, ekvivalentný, pre výpočty je plne postačujúce používať postup vyplývajúci z kombinatorického pravidla súčinu.

Permutácie

Permutácia je synonymický názov pre variáciu n-tej triedy z n-prvkov. Je to teda každá n-prvková usporiadaná skupina vytvorená z n-prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine.

P (n) = n (n - 1) (n - 2) . . . 1 = n!

Typický príklad je: Máme 4 knihy a koľkými spôsobmi ich môžme usporiadať vedľa seba v poličke?

Variácie s opakovaním

Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorených z množiny n prvkov, pričom prvky sa môžu opakovať a záleží na ich poradí. Typickým príkladom je tvorenie čísel z číslic 2,3,4,5 a zistenie ich počtu. Ich počet podľa kombinatorického pravidla súčinu vypočítame:

V_{k}^{'} (n) = n \cdot n \cdot n \cdot n . . . n = n^{k}

Permutácie s opakovaním

Permutácia s opakovaním je usporiadaná k-prvková skupina z n-prvkov, pričom niektoré prvky sa opakujú v skupine. Opakovanie niektorých (alebo všetkých v skupine) znižuje počet takýchto permutácií s opakovaním.

P_{k_{1} k_{2} k_{3} . . . k_{m}}^{'} (n) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! . . . k_{m}!}

Typický príklad je zistiť koľko je sedemmiestnych čísel utvorených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.

Kombinácie

Kombinácia k-tej triedy z n prvkov je neusporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a nezáleži na poradí prvkov v skupine. Neusporiadané skupiny sa v matematike volajú množiny resp. podmnožiny. Ich počet je kombinačné číslo a vypočíta sa takto:

C_{k} (n) = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

Typický príklad na kombinácie je že máme 15 žiakov a máme vybrať trojice. Koľko ich bude?

Kombinácie s opakovaním

Tu vyberáme k prvkové skupiny z n prvkov, pričom nezáleží na poradí a prvky sa môžu opakovať. k je logicky väčšie ako n (inak by sme dostali kombinácie obyčajné). Ich počet je:

C_{k}^{'} (n) = (\binom{n + k - 1}{k}) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!}

Vysvetlenie vzorca - počet kombinácii s opakovaním sa rovná počtu umiestnení n−1 oddeľovačov na n-1+k miest. Typický príklad je: ideme si do obchodu kúpiť 6 čokolád. V ponuke majú len 3 druhy. Koľko máme možností? k=6, n=3..

Základy kombinatoriky v slovných úlohách

Kartári
Hráč dostane 8 kariet z 32. Aká je pravdepodobnosť že dostane a, všetky 4 esá b. aspoň 1 eso
Karty
Koľkými spôsobmi je možné rozdať 32 hracích kariet 4 hráčom?
Štartovné čísla
V žrebovacom zariadení sú štartovné čísla od 1 do 20. Aká je pravdepodobnosť, že si prvý žrebujúci pretekár v zjazdovom lyžovaní vyžrebuje štartovné číslo menšie ako 6?
Za odmenu
Za odmenu pôde na výlet 10 žiakov z triedy, v ktorej je 25 žiakov. Koľko možností existuje?
Akordy
Koľko 4-tones akordov (akord = súzvuk súčasne znejúcich rôznych tónov) je možné zahrať z 7 tónov?
Koľkými 8
Koľkými spôsobmi možno vytiahnuť 8 hracích kariet z 32 hracích kariet, keď na ich poradí nezáleží?
Koľko 79
Koľko 5-ciferných čísel môžeme zostaviť z číslic 2,3,4,5,6,7,8,9, ak sa číslica v každom čísle môže opakovať len raz?
Z koľkých
Z koľkých prvkov vytvoríme 90 variácií 2 triedy bez opakovania prvkov?
Vyznamenaní študenti
Z 25 študentov triedy je 10 vyznamenaných. Koľkými spôsobmi z nich môžeme vybrať 5 študentov, ak medzi nimi majú byť práve dvaja vyznamenaní?
Futbal
Futbalovej mužstvo má v sklade čierne, fialové a oranžové tričká, modré a biele trenírky a pruhované a šedé štulpne. V koľkých rôznych úboroch môžu hráči nastúpiť?
Na preteku
Na preteku sa zúčastnilo päť pretekárov. Jaro bol sklamaný, že nevyhral. Pred vyhlásením druhého miesta si spočítal, aká je pravdepodobnosť, že skončí druhý. Aké číslo mu vyšlo, ak správne počítal?
Má 4
Má 4 druhy nohavíc, koľko má tričiek ak sa vie obliecť 40 rôznymi spôsobmi?
Počet čísel
Nájdi počet všetkých trojciferných prirodzených čísel, ktoré sa dajú zostaviť z číslic 1,2,3,4 a pre ktoré platia súčasne ešte tieto podmienky: na mieste jednotiek je jedna z číslic 1,3,4, na mieste stoviek číslica 4 alebo 2
Generálny riaditeľ
Výpočtom rozhodnite koľko kandidátov z celkového počtu 1000 kandidátov na funkciu generálneho riaditeľa plní požiadavky spôsobilosti na žiaducemu výkone tejto top manažérske funkcie s aspoň 67% pravdepodobnosťou - samozrejme za predpokladu, že spôsobilosť
Číslice 2
Koľko rôznych trojciferných čísel deliteľných piatimi môžeme vytvoriť z číslic 2, 4, 5? Číslice sa vo vytvorenom čísle môžu opakovať.
Za posledné
Za minulý rok pršalo 12 dní v marci. Aká je pravdepodobnosť, že pršalo 20. marca?

slovné úlohy - viacej »