Kombinatorická kalkulačka

Kalkulačka vypočíta koľkými rôznymi spôsobmi sa dajú vybrať k prvkov z množiny n prvkov. S/bez uvažovania poradia, s/bez opakovania. Vypočíta počet variácií, permutácií, kombinácií, variácií s opakovaním a kombinácií s opakovaním:

Výpočet:

C_{k} (n) = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} n = 10 k = 4 C_{4} (10) = (\binom{10}{4}) = \frac{10!}{4! (10 - 4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210

Počet kombinácií: 210

Trošku teórie - základy kombinatoriky

Variácie

Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine (preto usporiadaná).

Počet variácií vypočítame ľahko použitím kombinatorického pravidla súčinu. Ak máme napríklad množinu n=5 čísel 1,2,3,4,5 a máme urobiť variácie tretej triedy, bude ich V₃(5) = 5*4*3 = 60.

V_{k} (n) = n (n - 1) (n - 2) . . . (n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}

n! voláme faktoriál čísla n a je to súčin prvých n prirodzených čísel. Zápis s faktoriálom je len prehľadnejší, ekvivalentný, pre výpočty je plne postačujúce používať postup vyplývajúci z kombinatorického pravidla súčinu.

Permutácie

Permutácia je synonymický názov pre variáciu n-tej triedy z n-prvkov. Je to teda každá n-prvková usporiadaná skupina vytvorená z n-prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine.

P (n) = n (n - 1) (n - 2) . . . 1 = n!

Typický príklad je: Máme 4 knihy a koľkými spôsobmi ich môžme usporiadať vedľa seba v poličke?

Variácie s opakovaním

Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorených z množiny n prvkov, pričom prvky sa môžu opakovať a záleží na ich poradí. Typickým príkladom je tvorenie čísel z číslic 2,3,4,5 a zistenie ich počtu. Ich počet podľa kombinatorického pravidla súčinu vypočítame:

V_{k}^{'} (n) = n \cdot n \cdot n \cdot n . . . n = n^{k}

Permutácie s opakovaním

Permutácia s opakovaním je usporiadaná k-prvková skupina z n-prvkov, pričom niektoré prvky sa opakujú v skupine. Opakovanie niektorých (alebo všetkých v skupine) znižuje počet takýchto permutácií s opakovaním.

P_{k_{1} k_{2} k_{3} . . . k_{m}}^{'} (n) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! . . . k_{m}!}

Typický príklad je zistiť koľko je sedemmiestnych čísel utvorených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.

Kombinácie

Kombinácia k-tej triedy z n prvkov je neusporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a nezáleži na poradí prvkov v skupine. Neusporiadané skupiny sa v matematike volajú množiny resp. podmnožiny. Ich počet je kombinačné číslo a vypočíta sa takto:

C_{k} (n) = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

Typický príklad na kombinácie je že máme 15 žiakov a máme vybrať trojice. Koľko ich bude?

Kombinácie s opakovaním

Tu vyberáme k prvkové skupiny z n prvkov, pričom nezáleží na poradí a prvky sa môžu opakovať. k je logicky väčšie ako n (inak by sme dostali kombinácie obyčajné). Ich počet je:

C_{k}^{'} (n) = (\binom{n + k - 1}{k}) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!}

Vysvetlenie vzorca - počet kombinácii s opakovaním sa rovná počtu umiestnení n−1 oddeľovačov na n-1+k miest. Typický príklad je: ideme si do obchodu kúpiť 6 čokolád. V ponuke majú len 3 druhy. Koľko máme možností? k=6, n=3..

Základy kombinatoriky v slovných úlohách

Kombinatorika - komisia
V komisii bolo 12 členov. Pri hlasovaní bolo 5 členov za a 7 členov proti návrhu. Koľkymi spôsobmi mohla komisia hlasovať?
Kombinatorika
V meste je 7 fontán. Vždy fungujú iba 6. Koľko je možností, ktoré môžu striekať...
Slovo MATEMATIKA
Koľko slov možno vytvoriť zo slova MATEMATIKA zmenou poradím písmen pričom neberiene ohľad nato či vzniknuté slová majú význam?
Vypíše
Vypíše všetky nepárne 2-ciferné prirodzené čísla zostavené z cifier 1; 3; 4; 6; 8, ak sa cifry neopakujú.
Výpočet KČ
Vypočítajte: ?
Trojice
Koľko rôznych trojíc možno vybrať zo skupiny 25 študentov?
Komisia
Z 10 kandidátov je treba do komisie vybrať 3. Koľkými spôsobmi je to možné uskutočniť?
Skúšanie
V triede je 21 žiakov. Koľkými spôsobmi je možné vybrať two na vyskúšanie?
Variačná rovnica
Riešte kombinatorickú rovnicu s variáciami: V(2, x+8)=72
Karty
Koľkými spôsobmi je možné rozdať 32 hracích kariet 4 hráčom?
Uspešnosť
Z 30 úloh vyriešené spravne 24. Uspešnosť v% vyjadriť.
Kombinácie
Z koľkých prvkov môžeme vytvoriť 990 kombinácií 2. triedy bez opakovania?
Vo veľkom
Vo veľkom slalome súťaží 13 lyžiarov. Do finále postupujú prvý štyria. Koľko je možností na postup?
Šiesti
Šiesti chlapci sa majú vyviesť dvojsedačkou na kopec. Koľko možností existuje?
Koľko 74
Koľko slov možno vytvoriť zo všetkých písmen slova BRATISLAVA?
Permutácie
Z koľkých prvkov môžeme zostaviť 720 permutácií bez opakovania?

slovné úlohy - viacej »