Kombinatorická kalkulačka

Kalkulačka vypočíta koľkými rôznymi spôsobmi sa dajú vybrať k prvkov z množiny n prvkov. S/bez uvažovania poradia, s/bez opakovania. Vypočíta počet variácií, permutácií, kombinácií, variácií s opakovaním a kombinácií s opakovaním:

(n)
(k)

Výpočet:

Ck(n)=(nk)=n!k!(nk)!  n=10 k=4  C4(10)=(104)=10!4!(104)!=109874321=210

Počet kombinácií: 210



Trošku teórie - základy kombinatoriky

Variácie

Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine (preto usporiadaná).

Počet variácií vypočítame ľahko použitím kombinatorického pravidla súčinu. Ak máme napríklad množinu n=5 čísel 1,2,3,4,5 a máme urobiť variácie tretej triedy, bude ich V3(5) = 5*4*3 = 60.
Vk(n)=n(n1)(n2)...(nk+1)=n!(nk)!
n! voláme faktoriál čísla n a je to súčin prvých n prirodzených čísel. Zápis s faktoriálom je len prehľadnejší, ekvivalentný, pre výpočty je plne postačujúce používať postup vyplývajúci z kombinatorického pravidla súčinu.

Permutácie

Permutácia je synonymický názov pre variáciu n-tej triedy z n-prvkov. Je to teda každá n-prvková usporiadaná skupina vytvorená z n-prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine.
P(n)=n(n1)(n2)...1=n!
Typický príklad je: Máme 4 knihy a koľkými spôsobmi ich môžme usporiadať vedľa seba v poličke?

Variácie s opakovaním

Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorených z množiny n prvkov, pričom prvky sa môžu opakovať a záleží na ich poradí. Typickým príkladom je tvorenie čísel z číslic 2,3,4,5 a zistenie ich počtu. Ich počet podľa kombinatorického pravidla súčinu vypočítame:
Vk(n)=nnnn...n=nk

Permutácie s opakovaním

Permutácia s opakovaním je usporiadaná k-prvková skupina z n-prvkov, pričom niektoré prvky sa opakujú v skupine. Opakovanie niektorých (alebo všetkých v skupine) znižuje počet takýchto permutácií s opakovaním.
Pk1k2k3...km(n)=n!k1!k2!k3!...km!
Typický príklad je zistiť koľko je sedemmiestnych čísel utvorených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.

Kombinácie

Kombinácia k-tej triedy z n prvkov je neusporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a nezáleži na poradí prvkov v skupine. Neusporiadané skupiny sa v matematike volajú množiny resp. podmnožiny. Ich počet je kombinačné číslo a vypočíta sa takto:
Ck(n)=(nk)=n!k!(nk)!
Typický príklad na kombinácie je že máme 15 žiakov a máme vybrať trojice. Koľko ich bude?

Kombinácie s opakovaním

Tu vyberáme k prvkové skupiny z n prvkov, pričom nezáleží na poradí a prvky sa môžu opakovať. k je logicky väčšie ako n (inak by sme dostali kombinácie obyčajné). Ich počet je:
Ck(n)=(n+k1k)=(n+k1)!k!(n1)!
Vysvetlenie vzorca - počet kombinácii s opakovaním sa rovná počtu umiestnení n−1 oddeľovačov na n-1+k miest. Typický príklad je: ideme si do obchodu kúpiť 6 čokolád. V ponuke majú len 3 druhy. Koľko máme možností? k=6, n=3..

Základy kombinatoriky v slovných úlohách

  • Kombinatorika - komisia
    Permutations V komisii bolo 12 členov. Pri hlasovaní bolo 5 členov za a 7 členov proti návrhu. Koľkymi spôsobmi mohla komisia hlasovať?
  • Kombinatorika
    fontains V meste je 7 fontán. Vždy fungujú iba 6. Koľko je možností, ktoré môžu striekať...
  • Slovo MATEMATIKA
    math_1 Koľko slov možno vytvoriť zo slova MATEMATIKA zmenou poradím písmen pričom neberiene ohľad nato či vzniknuté slová majú význam?
  • Vypíše
    numbers_49 Vypíše všetky nepárne 2-ciferné prirodzené čísla zostavené z cifier 1; 3; 4; 6; 8, ak sa cifry neopakujú.
  • Výpočet KČ
    color_combinations Vypočítajte: ?
  • Trojice
    trojka Koľko rôznych trojíc možno vybrať zo skupiny 25 študentov?
  • Komisia
    combinatorics_1 Z 10 kandidátov je treba do komisie vybrať 3. Koľkými spôsobmi je to možné uskutočniť?
  • Skúšanie
    examination V triede je 21 žiakov. Koľkými spôsobmi je možné vybrať two na vyskúšanie?
  • Variačná rovnica
    fun2_4 Riešte kombinatorickú rovnicu s variáciami: V(2, x+8)=72
  • Karty
    sedmove karty Koľkými spôsobmi je možné rozdať 32 hracích kariet 4 hráčom?
  • Uspešnosť
    test_2 Z 30 úloh vyriešené spravne 24. Uspešnosť v% vyjadriť.
  • Kombinácie
    math_2 Z koľkých prvkov môžeme vytvoriť 990 kombinácií 2. triedy bez opakovania?
  • Vo veľkom
    ski_3 Vo veľkom slalome súťaží 13 lyžiarov. Do finále postupujú prvý štyria. Koľko je možností na postup?
  • Šiesti
    lanovka_1 Šiesti chlapci sa majú vyviesť dvojsedačkou na kopec. Koľko možností existuje?
  • Koľko 74
    city Koľko slov možno vytvoriť zo všetkých písmen slova BRATISLAVA?
  • Permutácie
    permutations_3 Z koľkých prvkov môžeme zostaviť 720 permutácií bez opakovania?


slovné úlohy - viacej »