Kombinatorická kalkulačka

Kalkulačka vypočítá kolika různými způsoby se dá vybrat k prvků z množiny n prvků. S/bez uvažování poradí, s/bez opakování. Vypočítá počet variací, permutací, kombinací, variací s opakováním a kombinací s opakováním.

Výpočet:

C_{k} (n) = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} n = 10 k = 4 C_{4} (10) = (\binom{10}{4}) = \frac{10!}{4! (10 - 4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210

Počet kombinací: 210

Trošku teorie - základy kombinatoriky

Variace

Variace k-té třídy z n prvků je uspořádána k-prvková skupina vytvořená z množiny n prvků. Prvky se neopakují a záleží na pořadí prvků ve skupině (proto uspořádána).
Počet variací vypočítáme snadno použitím kombinatorického pravidla součinu. Pokud máme například množinu n = 5 čísel 1,2,3,4,5 a máme udělat variace třetí třídy, bude jejich V₃ (5) = 5 * 4 * 3 = 60.

V_{k} (n) = n (n - 1) (n - 2) . . . (n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}

n! voláme faktoriál čísla n a je to součin prvních n přirozených čísel. Zápis s faktoriálu je jen přehlednější, ekvivalentní, pro výpočty je plně dostačující používat postup vyplývající z kombinatorického pravidla součinu.

Permutace

Permutace je synonymický název pro variaci n-té třídy z n-prvků. Je to tedy každá n-prvková uspořádána skupina vytvořená z n-prvků. Prvky se neopakují a záleží na pořadí prvků ve skupině.

P (n) = n (n - 1) (n - 2) . . . 1 = n!

Typický příklad je: Máme 4 knihy a kolika způsoby jejich můžeme uspořádat vedle sebe v poličce?

Variace s opakováním

Variace k-té třídy z n prvků je uspořádána k-prvková skupina vytvořených z množiny n prvků, přičemž prvky se mohou opakovat a záleží na jejich pořadí. Typickým příkladem je tvoření čísel z číslic 2,3,4,5 a zjištění jejich počtu. Jejich počet podle kombinatorického pravidla součinu vypočítáme:

V_{k}^{'} (n) = n \cdot n \cdot n \cdot n . . . n = n^{k}

Permutace s opakováním

Permutace s opakováním je uspořádána k-prvková skupina z n-prvků, přičemž některé prvky se opakují ve skupině. Opakování některých (nebo všech ve skupině) snižuje počet takových permutací s opakováním.

P_{k_{1} k_{2} k_{3} . . . k_{m}}^{'} (n) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! . . . k_{m}!}

Typický příklad je zjistit kolik je sedmimístných čísel vytvořených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.

Kombinace

Kombinace k-té třídy z n prvků je neuspořádaná k-prvková skupina vytvořená z množiny n prvků. Prvky se neopakují a nezáleží na pořadí prvků ve skupině. Neuspořádané skupiny se v matematice volají množiny resp. podmnožiny. Jejich počet je kombinační číslo a vypočte se takto:

C_{k} (n) = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

Typický příklad na kombinace je že máme 15 žáků a máme vybrat trojice. Kolik jich bude?

Kombinace s opakováním

Zde vybíráme k prvkové skupiny z n prvků, přičemž nezáleží na pořadí a prvky se mohou opakovat. k je logicky větší než n (jinak bychom dostali kombinace obyčejné). Jejich počet je:

C_{k}^{'} (n) = (\binom{n + k - 1}{k}) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!}

Vysvětlení vzorce - počet kombinaci s opakováním se rovná počtu umístění n-1 oddělovačů na n-1 + k míst. Typický příklad je: jdeme si do obchodu koupit 6 čokolád. V nabídce mají jen 3 druhy. Kolik máme možností? k = 6, n = 3 ..

Základy kombinatoriky v slovních úlohách

Trojice
Kolik různých trojic lze vybrat ze skupiny 36 studentů?
Karty
Kolika způsoby je možné rozdat 32 hracích karet 4 hráčům?
Ve třídě 7
Ve třídě je 20 žáků a z nich jsou 4 zkoušení, kolik je možností na zvolení koho bude zkoušet?
Věneček
Na věneček přišlo 12 chlapců a 15 dívek. Kolika způsoby můžeme vybrat 4 taneční páry?
Sad
V sadě roste 5 řad po 7 stromů. Kolik je v sadě stromů?
Zástupci
Ve třídě je 18 chlapců a 14 dívek. Kolika způsoby mohou do školního parlamentu vybrat 3 zástupců, pokud to mají být: a) samí chlapci b) jeden chlapec a dvě dívky
cestovní kancelář
Malá cestovní kancelář nabízí 5 různých zájezdů na líbánky. Jaká je pravděpodobnost, že i nevěsta i ženich zvolí stejný zájezd (předpokládáme, že si vybírají nezávisle)?
Párty
Na párty si každý štrngol s každým. Dohromady si štrngli 171-krát. Kolik lidí bylo na párty?
Budeme
Budeme pracovat se třídou, ve které je 30 žáků, 40% z nich jsou chlapci, počet lavic je 18. Určete počty možností v následujících zadáních. 1) Určete, kolika možnostmi lze vybrat do soutěže trojici žáků, pokud není určeno, kolik je chlapců a kolik děvčat.
Kolika
Kolika způsoby můžeme zlato, stříbro, bronz rozdělit, pokud je 6 osob které soutěží?
Kombinace
6 peněženek 9 klapek 12 popruhů Každá kombinace musí obsahovat 1 kabelku, 1 klapku a 1 popruh. Kolik je možných kombinací?
Ve třídě
Ve třídě je 14 děvčat a 11 chlapců. Kolika způsoby lze vybrat čtyřčlenné družstvo tak, aby v něm byli právě dva chlapci?
Fotbalová liga
Ve fotbalové lize je 16 týmů. Kolik různých pořadí muze vzniknout na konci soutěže?
Ciferny součet
Kolik je trojmístných čísel ktere maji ciferny součet 6?
Střelec 4
Střelec střílí do terče, přičemž předpokládáme, že jednotlivé výstřely jsou navzájem nezávislé a pravděpodobnost zásahu je u každého z nich 0,2. Střelec střílí tak dlouho, dokud poprvé terč nezasáhne, poté střelbu ukončí. (a) Jaký je nejpravděpodobnější p
Ložiská - tri sigma
Ze zásilky kuličkových ložisek je vybráno jedno ložisko. Z dřívějších dodávek je známo, že vnitřní poloměr ložiska lze považovat za náhodnou veličinu s normálním rozdělením N (µ = 0,400, σ2 = 25,10^−6). Vypočtěte pravděpodobnost, že u vybraného ložiska př

slovní úlohy - více »