Kombinatorická kalkulačka

Kalkulačka vypočítá kolika různými způsoby se dá vybrat k prvků z množiny n prvků. S/bez uvažování poradí, s/bez opakování. Vypočítá počet variací, permutací, kombinací, variací s opakováním a kombinací s opakováním.

(n)
(k)

Výpočet:

Ck(n)=(nk)=n!k!(nk)!  n=10 k=4  C4(10)=(104)=10!4!(104)!=109874321=210

Počet kombinací: 210



Trošku teorie - základy kombinatoriky

Variace

Variace k-té třídy z n prvků je uspořádána k-prvková skupina vytvořená z množiny n prvků. Prvky se neopakují a záleží na pořadí prvků ve skupině (proto uspořádána).
Počet variací vypočítáme snadno použitím kombinatorického pravidla součinu. Pokud máme například množinu n = 5 čísel 1,2,3,4,5 a máme udělat variace třetí třídy, bude jejich V3 (5) = 5 * 4 * 3 = 60.
Vk(n)=n(n1)(n2)...(nk+1)=n!(nk)!
n! voláme faktoriál čísla n a je to součin prvních n přirozených čísel. Zápis s faktoriálu je jen přehlednější, ekvivalentní, pro výpočty je plně dostačující používat postup vyplývající z kombinatorického pravidla součinu.

Permutace

Permutace je synonymický název pro variaci n-té třídy z n-prvků. Je to tedy každá n-prvková uspořádána skupina vytvořená z n-prvků. Prvky se neopakují a záleží na pořadí prvků ve skupině.
P(n)=n(n1)(n2)...1=n!
Typický příklad je: Máme 4 knihy a kolika způsoby jejich můžeme uspořádat vedle sebe v poličce?

Variace s opakováním

Variace k-té třídy z n prvků je uspořádána k-prvková skupina vytvořených z množiny n prvků, přičemž prvky se mohou opakovat a záleží na jejich pořadí. Typickým příkladem je tvoření čísel z číslic 2,3,4,5 a zjištění jejich počtu. Jejich počet podle kombinatorického pravidla součinu vypočítáme:
Vk(n)=nnnn...n=nk

Permutace s opakováním

Permutace s opakováním je uspořádána k-prvková skupina z n-prvků, přičemž některé prvky se opakují ve skupině. Opakování některých (nebo všech ve skupině) snižuje počet takových permutací s opakováním.
Pk1k2k3...km(n)=n!k1!k2!k3!...km!
Typický příklad je zjistit kolik je sedmimístných čísel vytvořených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.

Kombinace

Kombinace k-té třídy z n prvků je neuspořádaná k-prvková skupina vytvořená z množiny n prvků. Prvky se neopakují a nezáleží na pořadí prvků ve skupině. Neuspořádané skupiny se v matematice volají množiny resp. podmnožiny. Jejich počet je kombinační číslo a vypočte se takto:
Ck(n)=(nk)=n!k!(nk)!
Typický příklad na kombinace je že máme 15 žáků a máme vybrat trojice. Kolik jich bude?

Kombinace s opakováním

Zde vybíráme k prvkové skupiny z n prvků, přičemž nezáleží na pořadí a prvky se mohou opakovat. k je logicky větší než n (jinak bychom dostali kombinace obyčejné). Jejich počet je:
Ck(n)=(n+k1k)=(n+k1)!k!(n1)!
Vysvětlení vzorce - počet kombinaci s opakováním se rovná počtu umístění n-1 oddělovačů na n-1 + k míst. Typický příklad je: jdeme si do obchodu koupit 6 čokolád. V nabídce mají jen 3 druhy. Kolik máme možností? k = 6, n = 3 ..

Základy kombinatoriky v slovních úlohách

  • Test 2
    test Máte test s 8 otázkami, kde u každé otázky můžete volit z 3 odpovědí a vždy je jedna odpověď správně. Pravděpodobnost, že při náhodném vyplňování ( tedy všichni odpovědí tipujeme) odpovíme správně 5 anebo 6 otázek je……. Průměrný počet správně uhodnutých o
  • Trojmístné PC
    numbers Najdi počet všech trojmístných přirozených čísel, které se dají sestavit z číslic 1,2,3,4 a pro které platí současně ještě tyto podmínky: na místě jednotek je jedna z číslic 1,3,4, na místě stovek číslice 4 nebo 2
  • Zkoušení
    examination Ve třídě je 33 žáků. Kolika způsoby lze vybrat 2 žáků na vyzkoušení?
  • Kopec
    lanovka Do kopce vedou 2 cesty a 1 lanovka. a) kolik je všech možností tam a zpět b) kolik je všech možností aby cesta tam a zpět nebyla stejná c) kolik je všech možností abychom šli alespoň jednou lanovkou
  • Každý každému
    post Sedm přátel se dohodne, že každý každému pošle pohlednici z dovolené. Kolik pohlednic bylo odeslaných?
  • Pravděpodobnost - losy
    zreby Jaká je pravděpodobnost že když máš 25 losů z 5000 že nevyhraješ hlavní cenu?
  • Kombi-troj
    komb_triangle Na každé straně čtverce je vyznačených 2 různých bodů, mimo vrcholů čtverce. Kolik trojúhelníků lze sestrojit z této množiny bodů, jestliže každý vrchol trojúhelníku má ležet na jiné straně čtverce?
  • Hokejisté
    players Po vystřídání si na střídačce náhodně sadlo vedle sebe pět hokejistů. Jaká je pravděpodobnost, že dva nejlepší střelci z této pětice budou sedět vedle sebe?
  • Koule
    stats Máme n-stejných koulí (číslované od 1-n), vybírají se bez vracení. 1) Pravděpodobnost, že alespoň při 1 tahu se číslo tahu shoduje s číslem koule? 2) Určit střední hodnotu a rozptyl počtu koulí, kde se shoduje číslo koule s číslem pořadí.
  • Body v rovině
    linear_eq V rovině je dáno 12 bodů, z nichž 5 leží na jedné přímce. Kolik různých přímek určují dané body?
  • Učitel 2
    test Učitel má k dispozici 12 příkladů z geometrie a 15 příkladů z aritmetiky. Kolik písemek může vytvořit, jestliže v písemce chce mít 3 příklady z geometrie a 5 z aritmetiky?
  • Urči pravděpodobnost
    dice Urči pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne číslo dělitelné dva nebo tři.
  • Morseovka
    morse_code Vypočítejte, kolik slov Morseovy abecedy lze vytvořit sestavením čárek a teček do slova o jednom až three znacích.
  • Roviny
    roviny Daných je n bodů, z nichž žádné tři neleží na jedné přímce a žádné čtyři neleží v jedné rovině. Kolik rovin lze vést těmito body? Kolik je rovin, pokud jich je pětinásobně více než daných bodů?
  • Permutace
    fact Pokud se zmenší počet prvků o dva, zmenší se počet permutací třicetkrát. Kolik je prvků?
  • Každý s každým 2
    flasa 13hostů si na oslavě tukne každý s každým. Kolik se ozve celkem cinknuti?


slovní úlohy - více »