Kombinatorická kalkulačka

Kalkulačka vypočítá kolika různými způsoby se dá vybrat k prvků z množiny n prvků. S/bez uvažování poradí, s/bez opakování. Vypočítá počet variací, permutací, kombinací, variací s opakováním a kombinací s opakováním.

(n)
(k)

Výpočet:

Ck(n)=(nk)=n!k!(nk)!  n=10 k=4  C4(10)=(104)=10!4!(104)!=109874321=210

Počet kombinací: 210



Trošku teorie - základy kombinatoriky

Variace

Variace k-té třídy z n prvků je uspořádána k-prvková skupina vytvořená z množiny n prvků. Prvky se neopakují a záleží na pořadí prvků ve skupině (proto uspořádána).
Počet variací vypočítáme snadno použitím kombinatorického pravidla součinu. Pokud máme například množinu n = 5 čísel 1,2,3,4,5 a máme udělat variace třetí třídy, bude jejich V3 (5) = 5 * 4 * 3 = 60.
Vk(n)=n(n1)(n2)...(nk+1)=n!(nk)!
n! voláme faktoriál čísla n a je to součin prvních n přirozených čísel. Zápis s faktoriálu je jen přehlednější, ekvivalentní, pro výpočty je plně dostačující používat postup vyplývající z kombinatorického pravidla součinu.

Permutace

Permutace je synonymický název pro variaci n-té třídy z n-prvků. Je to tedy každá n-prvková uspořádána skupina vytvořená z n-prvků. Prvky se neopakují a záleží na pořadí prvků ve skupině.
P(n)=n(n1)(n2)...1=n!
Typický příklad je: Máme 4 knihy a kolika způsoby jejich můžeme uspořádat vedle sebe v poličce?

Variace s opakováním

Variace k-té třídy z n prvků je uspořádána k-prvková skupina vytvořených z množiny n prvků, přičemž prvky se mohou opakovat a záleží na jejich pořadí. Typickým příkladem je tvoření čísel z číslic 2,3,4,5 a zjištění jejich počtu. Jejich počet podle kombinatorického pravidla součinu vypočítáme:
Vk(n)=nnnn...n=nk

Permutace s opakováním

Permutace s opakováním je uspořádána k-prvková skupina z n-prvků, přičemž některé prvky se opakují ve skupině. Opakování některých (nebo všech ve skupině) snižuje počet takových permutací s opakováním.
Pk1k2k3...km(n)=n!k1!k2!k3!...km!
Typický příklad je zjistit kolik je sedmimístných čísel vytvořených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.

Kombinace

Kombinace k-té třídy z n prvků je neuspořádaná k-prvková skupina vytvořená z množiny n prvků. Prvky se neopakují a nezáleží na pořadí prvků ve skupině. Neuspořádané skupiny se v matematice volají množiny resp. podmnožiny. Jejich počet je kombinační číslo a vypočte se takto:
Ck(n)=(nk)=n!k!(nk)!
Typický příklad na kombinace je že máme 15 žáků a máme vybrat trojice. Kolik jich bude?

Kombinace s opakováním

Zde vybíráme k prvkové skupiny z n prvků, přičemž nezáleží na pořadí a prvky se mohou opakovat. k je logicky větší než n (jinak bychom dostali kombinace obyčejné). Jejich počet je:
Ck(n)=(n+k1k)=(n+k1)!k!(n1)!
Vysvětlení vzorce - počet kombinaci s opakováním se rovná počtu umístění n-1 oddělovačů na n-1 + k míst. Typický příklad je: jdeme si do obchodu koupit 6 čokolád. V nabídce mají jen 3 druhy. Kolik máme možností? k = 6, n = 3 ..

Základy kombinatoriky v slovních úlohách

  • Trojice
    trojka Kolik různých trojic lze vybrat ze skupiny 36 studentů?
  • Karty
    sedmove karty Kolika způsoby je možné rozdat 32 hracích karet 4 hráčům?
  • Ve třídě 7
    skola Ve třídě je 20 žáků a z nich jsou 4 zkoušení, kolik je možností na zvolení koho bude zkoušet?
  • Věneček
    vencek Na věneček přišlo 12 chlapců a 15 dívek. Kolika způsoby můžeme vybrat 4 taneční páry?
  • Sad
    orchard V sadě roste 5 řad po 7 stromů. Kolik je v sadě stromů?
  • Zástupci
    slovakia Ve třídě je 18 chlapců a 14 dívek. Kolika způsoby mohou do školního parlamentu vybrat 3 zástupců, pokud to mají být: a) samí chlapci b) jeden chlapec a dvě dívky
  • cestovní kancelář
    nevesta Malá cestovní kancelář nabízí 5 různých zájezdů na líbánky. Jaká je pravděpodobnost, že i nevěsta i ženich zvolí stejný zájezd (předpokládáme, že si vybírají nezávisle)?
  • Párty
    party-informatikov Na párty si každý štrngol s každým. Dohromady si štrngli 171-krát. Kolik lidí bylo na párty?
  • Budeme
    skola Budeme pracovat se třídou, ve které je 30 žáků, 40% z nich jsou chlapci, počet lavic je 18. Určete počty možností v následujících zadáních. 1) Určete, kolika možnostmi lze vybrat do soutěže trojici žáků, pokud není určeno, kolik je chlapců a kolik děvčat.
  • Kolika
    olympics Kolika způsoby můžeme zlato, stříbro, bronz rozdělit, pokud je 6 osob které soutěží?
  • Kombinace
    dices2 6 peněženek 9 klapek 12 popruhů Každá kombinace musí obsahovat 1 kabelku, 1 klapku a 1 popruh. Kolik je možných kombinací?
  • Ve třídě
    skola Ve třídě je 14 děvčat a 11 chlapců. Kolika způsoby lze vybrat čtyřčlenné družstvo tak, aby v něm byli právě dva chlapci?
  • Fotbalová liga
    football Ve fotbalové lize je 16 týmů. Kolik různých pořadí muze vzniknout na konci soutěže?
  • Ciferny součet
    cisla Kolik je trojmístných čísel ktere maji ciferny součet 6?
  • Střelec 4
    terc Střelec střílí do terče, přičemž předpokládáme, že jednotlivé výstřely jsou navzájem nezávislé a pravděpodobnost zásahu je u každého z nich 0,2. Střelec střílí tak dlouho, dokud poprvé terč nezasáhne, poté střelbu ukončí. (a) Jaký je nejpravděpodobnější p
  • Ložiská - tri sigma
    normal_d Ze zásilky kuličkových ložisek je vybráno jedno ložisko. Z dřívějších dodávek je známo, že vnitřní poloměr ložiska lze považovat za náhodnou veličinu s normálním rozdělením N (µ = 0,400, σ2 = 25,10^−6). Vypočtěte pravděpodobnost, že u vybraného ložiska př


slovní úlohy - více »