Kombinace s opakováním n=16, k=8 výsledek
Kalkulačka vypočítá počet kombinací k-té třídy z n prvků s opakováním. Kombinace s opakováním: k-členná kombinace s opakováním z n prvků je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát.Výpočet:
Ck′(n)=(kn+k−1) n=16 k=8 C8′(16)=C8(16+8−1)=C8(23)=(823)=8!(23−8)!23!=8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅123⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16=490314
Počet kombinací s opakováním: 490314
490314
Trošku teorie - základy kombinatoriky
Variace
Variace k-té třídy z n prvků je uspořádána k-prvková skupina vytvořená z množiny n prvků. Prvky se neopakují a záleží na pořadí prvků ve skupině (proto uspořádána).Počet variací vypočítáme snadno použitím kombinatorického pravidla součinu. Pokud máme například množinu n = 5 čísel 1,2,3,4,5 a máme udělat variace třetí třídy, bude jejich V3 (5) = 5 * 4 * 3 = 60.
Vk(n)=n(n−1)(n−2)...(n−k+1)=(n−k)!n!
n! voláme faktoriál čísla n a je to součin prvních n přirozených čísel. Zápis s faktoriálu je jen přehlednější, ekvivalentní, pro výpočty je plně dostačující používat postup vyplývající z kombinatorického pravidla součinu.
Permutace
Permutace je synonymický název pro variaci n-té třídy z n-prvků. Je to tedy každá n-prvková uspořádána skupina vytvořená z n-prvků. Prvky se neopakují a záleží na pořadí prvků ve skupině.P(n)=n(n−1)(n−2)...1=n!
Typický příklad je: Máme 4 knihy a kolika způsoby jejich můžeme uspořádat vedle sebe v poličce?
Variace s opakováním
Variace k-té třídy z n prvků je uspořádána k-prvková skupina vytvořených z množiny n prvků, přičemž prvky se mohou opakovat a záleží na jejich pořadí. Typickým příkladem je tvoření čísel z číslic 2,3,4,5 a zjištění jejich počtu. Jejich počet podle kombinatorického pravidla součinu vypočítáme:Vk′(n)=n⋅n⋅n⋅n...n=nk
Permutace s opakováním
Permutace s opakováním je uspořádána k-prvková skupina z n-prvků, přičemž některé prvky se opakují ve skupině. Opakování některých (nebo všech ve skupině) snižuje počet takových permutací s opakováním.Pk1k2k3...km′(n)=k1!k2!k3!...km!n!
Typický příklad je zjistit kolik je sedmimístných čísel vytvořených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.
Kombinace
Kombinace k-té třídy z n prvků je neuspořádaná k-prvková skupina vytvořená z množiny n prvků. Prvky se neopakují a nezáleží na pořadí prvků ve skupině. Neuspořádané skupiny se v matematice volají množiny resp. podmnožiny. Jejich počet je kombinační číslo a vypočte se takto:Ck(n)=(kn)=k!(n−k)!n!
Typický příklad na kombinace je že máme 15 žáků a máme vybrat trojice. Kolik jich bude?
Kombinace s opakováním
Zde vybíráme k prvkové skupiny z n prvků, přičemž nezáleží na pořadí a prvky se mohou opakovat. k je logicky větší než n (jinak bychom dostali kombinace obyčejné). Jejich počet je:Ck′(n)=(kn+k−1)=k!(n−1)!(n+k−1)!
Vysvětlení vzorce - počet kombinaci s opakováním se rovná počtu umístění n-1 oddělovačů na n-1 + k míst. Typický příklad je: jdeme si do obchodu koupit 6 čokolád. V nabídce mají jen 3 druhy. Kolik máme možností? k = 6, n = 3 ..
Základy kombinatoriky v slovních úlohách
- Pravděpodobnost - losy
Jaká je pravděpodobnost že když máš 25 losů z 5000 že nevyhraješ hlavní cenu?
- Hrací kostka
Kolikrát je nutné hodit hrací kostkou, aby pravděpodobnost hodu alespoň jedné šestky byla větší než 60%?
- N-úhelník
Kolik vnitřních úhlopříček má konvexní 10-úhelník?
- Zasedací pořádek
Kolika způsoby se může posadit 6 osob na 6 židlí (např. obstarávání lístků ve vlaku)?
- Školní výlet
Třída má 17 žáků. Jakými různými způsoby lze žáky ubytovat v hostelu, pokud jsou dostupné 3×2-lůžkových, 1×3-lůžkových a 2×4-lůžkových pokojů. (Každý pokoj má své unikátní číslo ale postele nejsou číslované)
- Petr a Franta
Petr a Franta házeli na koš. Každý měl 20 pokusů. Petr se trefil třináctkrát a Franta dvanáctkrát. Vyjádři jejich úspěšnost v procentech.
- Pojistka
Majitel domu je pojištěný vůči živelným pohromám a platí ročně 0,06% z hodnoty domu pojistku 119 Eur. Vypočítejte hodnotu jeho domu. Vypočítejte jaká je pravděpodobnost živelné pohromy, pokud víte že 41% z ceny pojistky jde na úhradu škod.
- Fotbalová liga
V 5. fotbalové lize je 19 mužstev. Kolika způsoby může být obsazeno první, druhé a třetí místo?
- Kombinace 2. třídy
Z kolik prvků je možné vytvořit 561 kombinaci druhé třídy?
- Cukrovinky
Na trzích mají 5 sort bonbónů, jeden váží 31 gramů. Kolika různými způsoby může zákazník koupit 1,519 kg bonbónů.
- Turnaj
Určitě kolika způsoby lze vybrat z 24 žáků 2 zástupci třídy na školní turnaj.
- Zkoušení
Ve třídě je 33 žáků. Kolika způsoby lze vybrat 3 žáků na vyzkoušení?
- Bity, bajty
Vypočítejte kolik různých čísel lze zakódovat v 16-bitovém binárním slově?
- Podmnožiny
Kolik 19 prvkových podmnožin lze vytvořit z 26 prvkové množiny?
slovní úlohy - více »