Pravoúhlý trojúhelník kalkulačka (B,b)

Zadané odvěsna b a úhel β.

Pravoúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 840,14992340822
b = 870
c = 1209,44223241845

Obsah trojúhelníku: S = 365464,917682574
Obvod trojúhelníku: o = 2919,59215582667
Semiperimeter (poloobvod): s = 1459,79657791333

Úhel ∠ A = α = 44° = 0,76879448709 rad
Úhel ∠ B = β = 46° = 0,80328514559 rad
Úhel ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 870
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 840,14992340822
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 604,35327822993

Těžnice: t_a = 966,10769733121
Těžnice: t_b = 946,08444230452
Těžnice: t_c = 604,72111620923

Úsek c_a = 625,82656262946
Úsek c_b = 583,61766978899

Poloměr vepsané kružnice: r = 250,35334549488
Poloměr opsané kružnice: R = 604,72111620923

Souřadnice vrcholů: A[1209,44223241845; 0] B[0; 0] C[583,61766978899; 604,35327822993]
Těžiště: T[597,68663406915; 201,45109274331]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[604,72111620923; -0]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[589,79657791333; 250,35334549488]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 136° = 0,76879448709 rad
∠ B' = β' = 134° = 0,80328514559 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).

1. Zadané vstupní údaje: odvěsna b a úhel β

b = 870 β = 46 °

2. Z úhlu β vypočítáme úhel α:

α + β + 90 ° = 180 ° α = 90 ° - β = 90 ° - 46 ° = 44 °

3. Z odvěsny b a úhlu α vypočítáme přeponu c:

cos α = b : c c = b / cos α = 870 / cos (44 °) = 1209, 442

4. Z přepony c a úhlu α vypočítáme odvěsnu a:

sin α = a : c a = c \cdot sin α = 1209, 442 \cdot sin (44 °) = 840, 149

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.

a = 840, 15 b = 870 c = 1209, 44

5. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 840, 15 + 870 + 1209, 44 = 2919, 59

6. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9 1 9 , 5 9}{2} = 1459, 8

7. Obsah trojúhelníku

S = \frac{a b}{2} = \frac{8 4 0 , 1 5 \cdot 8 7 0}{2} = 365464, 92

8. Výpočet výšek pravoúhlého trojúhelníku z jeho obsahu.

v_{a} = b = 870 v_{b} = a = 840, 15 S = \frac{c v _{c}}{2} v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 6 5 4 6 4 , 9 2}{1 2 0 9 , 4 4} = 604, 35

9. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku - základní použití sinus funkce

sin α = \frac{a}{c} α = arcsin (\frac{a}{c}) = arcsin (\frac{8 4 0 , 1 5}{1 2 0 9 , 4 4}) = 44 ° sin β = \frac{b}{c} β = arcsin (\frac{b}{c}) = arcsin (\frac{8 7 0}{1 2 0 9 , 4 4}) = 46 ° γ = 90 °

10. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 6 5 4 6 4 , 9 2}{1 4 5 9 , 8} = 250, 35

11. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{c}{2} = \frac{1 2 0 9 , 4 4}{2} = 604, 72

12. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a}^{2} = b^{2} + (a / 2)^{2} t_{a} = b^{2} + (a / 2)^{2} = 87 0^{2} + (840, 15 / 2)^{2} = 966, 107 t_{b}^{2} = a^{2} + (b / 2)^{2} t_{b} = a^{2} + (b / 2)^{2} = 840, 1 5^{2} + (870 / 2)^{2} = 946, 084 t_{c} = R = \frac{c}{2} = \frac{1 2 0 9 , 4 4}{2} = 604, 721

Vypočítat další trojúhelník