Trojúhelník 1 12 12
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 1
b = 12
c = 12
Obsah trojúhelníku: S = 5,99547894041
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Úhel ∠ A = α = 4,77660309265° = 4°46'34″ = 0,08333574648 rad
Úhel ∠ B = β = 87,61219845367° = 87°36'43″ = 1,52991175944 rad
Úhel ∠ C = γ = 87,61219845367° = 87°36'43″ = 1,52991175944 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 11,99895788083
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 0,99991315674
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 0,99991315674
Těžnice: ta = 11,99895788083
Těžnice: tb = 6,04215229868
Těžnice: tc = 6,04215229868
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,48795831523
Poloměr opsané kružnice: R = 6,00552151248
Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[0,04216666667; 0,99991315674]
Těžiště: T[4,01438888889; 0,33330438558]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; 0,25502172969]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,5; 0,48795831523]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 175,22439690735° = 175°13'26″ = 0,08333574648 rad
∠ B' = β' = 92,38880154633° = 92°23'17″ = 1,52991175944 rad
∠ C' = γ' = 92,38880154633° = 92°23'17″ = 1,52991175944 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=1 b=12 c=12
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=1+12+12=25
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−1)(12,5−12)(12,5−12) S=35,94=5,99
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=12⋅ 5,99=11,99 vb=b2 S=122⋅ 5,99=1 vc=c2 S=122⋅ 5,99=1
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 12122+122−12)=4°46′34" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 1⋅ 1212+122−122)=87°36′43" γ=180°−α−β=180°−4°46′34"−87°36′43"=87°36′43"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=12,55,99=0,48
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,48⋅ 12,51⋅ 12⋅ 12=6,01
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 122−12=11,99 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 12−122=6,042 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 12+2⋅ 122−122=6,042
Vypočítat další trojúhelník