Trojúhelník 1 3 3




Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 1   b = 3   c = 3

Obsah trojúhelníku: S = 1,47990199458
Obvod trojúhelníku: o = 7
Semiperimeter (poloobvod): s = 3,5

Úhel ∠ A = α = 19,18881364537° = 19°11'17″ = 0,33548961584 rad
Úhel ∠ B = β = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,40333482476 rad
Úhel ∠ C = γ = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,40333482476 rad

Výška trojúhelníku: va = 2,95880398915
Výška trojúhelníku: vb = 0,98660132972
Výška trojúhelníku: vc = 0,98660132972

Těžnice: ta = 2,95880398915
Těžnice: tb = 1,65883123952
Těžnice: tc = 1,65883123952

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,42325771274
Poloměr opsané kružnice: R = 1,52112776585

Souřadnice vrcholů: A[3; 0] B[0; 0] C[0,16766666667; 0,98660132972]
Těžiště: T[1,05655555556; 0,32986710991]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1,5; 0,25435462764]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,5; 0,42325771274]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,81218635463° = 160°48'43″ = 0,33548961584 rad
∠ B' = β' = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,40333482476 rad
∠ C' = γ' = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,40333482476 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=1 b=3 c=3

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=1+3+3=7

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=27=3,5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=3,5(3,51)(3,53)(3,53) S=2,19=1,48

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=12 1,48=2,96 vb=b2 S=32 1,48=0,99 vc=c2 S=32 1,48=0,99

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 3 332+3212)=19°1117"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 1 312+3232)=80°2421" γ=180°αβ=180°19°1117"80°2421"=80°2421"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=3,51,48=0,42

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 0,423 3,51 3 3=1,52

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 32+2 3212=2,958 tb=22c2+2a2b2=22 32+2 1232=1,658 tc=22a2+2b2c2=22 12+2 3232=1,658

Vypočítat další trojúhelník