Trojúhelník 1 6 6

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 1 b = 6 c = 6

Obsah trojúhelníku: S = 2,99895651858
Obvod trojúhelníku: o = 13
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,5

Úhel ∠ A = α = 9,56603836944° = 9°33'37″ = 0,16768601732 rad
Úhel ∠ B = β = 85,22198081528° = 85°13'11″ = 1,48773662402 rad
Úhel ∠ C = γ = 85,22198081528° = 85°13'11″ = 1,48773662402 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 5,97991303716
Výška trojúhelníku: v_b = 0,99765217286
Výška trojúhelníku: v_c = 0,99765217286

Těžnice: t_a = 5,97991303716
Těžnice: t_b = 3,08222070015
Těžnice: t_c = 3,08222070015

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,46599331055
Poloměr opsané kružnice: R = 3,0110471236

Souřadnice vrcholů: A[6; 0] B[0; 0] C[0,08333333333; 0,99765217286]
Těžiště: T[2,02877777778; 0,33221739095]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3; 0,2510872603]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,5; 0,46599331055]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 170,44396163056° = 170°26'23″ = 0,16768601732 rad
∠ B' = β' = 94,78801918472° = 94°46'49″ = 1,48773662402 rad
∠ C' = γ' = 94,78801918472° = 94°46'49″ = 1,48773662402 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 1 b = 6 c = 6

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 1 + 6 + 6 = 13

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 3}{2} = 6, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 6, 5 (6, 5 - 1) (6, 5 - 6) (6, 5 - 6) S = 8, 94 = 2, 99

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 , 9 9}{1} = 5, 98 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 , 9 9}{6} = 1 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 , 9 9}{6} = 1

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 6 ^{2} - 1 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 6}) = 9 ° 3 3^{'} 37 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 ^{2} + 6 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 1 \cdot 6}) = 85 ° 1 3^{'} 11 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 9 ° 3 3^{'} 37 " - 85 ° 1 3^{'} 11 " = 85 ° 1 3^{'} 11 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 , 9 9}{6 , 5} = 0, 46

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 \cdot 6 \cdot 6}{4 \cdot 0 , 4 6 \cdot 6 , 5} = 3, 01

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 1 ^{2}}{2} = 5, 979 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 1 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 3, 082 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 3, 082

Vypočítat další trojúhelník