Trojúhelník 2 10 10




Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 2   b = 10   c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 9,95498743711
Obvod trojúhelníku: o = 22
Semiperimeter (poloobvod): s = 11

Úhel ∠ A = α = 11,47883409545° = 11°28'42″ = 0.22003348423 rad
Úhel ∠ B = β = 84,26108295227° = 84°15'39″ = 1,47106289056 rad
Úhel ∠ C = γ = 84,26108295227° = 84°15'39″ = 1,47106289056 rad

Výška trojúhelníku: va = 9,95498743711
Výška trojúhelníku: vb = 1,99899748742
Výška trojúhelníku: vc = 1,99899748742

Těžnice: ta = 9,95498743711
Těžnice: tb = 5,19661524227
Těžnice: tc = 5,19661524227

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,90545340337
Poloměr opsané kružnice: R = 5,02551890763

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[0,2; 1,99899748742]
Těžiště: T[3,4; 0,66333249581]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 0,50325189076]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1; 0,90545340337]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 168,52216590455° = 168°31'18″ = 0.22003348423 rad
∠ B' = β' = 95,73991704773° = 95°44'21″ = 1,47106289056 rad
∠ C' = γ' = 95,73991704773° = 95°44'21″ = 1,47106289056 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=10 c=10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=2+10+10=22

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=222=11

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=11(112)(1110)(1110) S=99=9,95

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=22 9,95=9,95 vb=b2 S=102 9,95=1,99 vc=c2 S=102 9,95=1,99

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 10 10102+10222)=11°2842"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 2 1022+102102)=84°1539" γ=180°αβ=180°11°2842"84°1539"=84°1539"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=119,95=0,9

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 0,905 112 10 10=5,03

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 102+2 10222=9,95 tb=22c2+2a2b2=22 102+2 22102=5,196 tc=22a2+2b2c2=22 22+2 102102=5,196

Vypočítat další trojúhelník