Trojúhelník 2 10 10
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Strany: a = 2 b = 10 c = 10Obsah trojúhelníku: S = 9,95498743711
Obvod trojúhelníku: o = 22
Semiperimeter (poloobvod): s = 11
Úhel ∠ A = α = 11,47883409545° = 11°28'42″ = 0.22003348423 rad
Úhel ∠ B = β = 84,26108295227° = 84°15'39″ = 1,47106289056 rad
Úhel ∠ C = γ = 84,26108295227° = 84°15'39″ = 1,47106289056 rad
Výška trojúhelníku: va = 9,95498743711
Výška trojúhelníku: vb = 1,99899748742
Výška trojúhelníku: vc = 1,99899748742
Těžnice: ta = 9,95498743711
Těžnice: tb = 5,19661524227
Těžnice: tc = 5,19661524227
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,90545340337
Poloměr opsané kružnice: R = 5,02551890763
Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[0,2; 1,99899748742]
Těžiště: T[3,4; 0,66333249581]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 0,50325189076]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1; 0,90545340337]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 168,52216590455° = 168°31'18″ = 0.22003348423 rad
∠ B' = β' = 95,73991704773° = 95°44'21″ = 1,47106289056 rad
∠ C' = γ' = 95,73991704773° = 95°44'21″ = 1,47106289056 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=10 c=10
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=2+10+10=22
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=222=11
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11(11−2)(11−10)(11−10) S=99=9,95
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 9,95=9,95 vb=b2 S=102⋅ 9,95=1,99 vc=c2 S=102⋅ 9,95=1,99
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 10102+102−22)=11°28′42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 1022+102−102)=84°15′39" γ=180°−α−β=180°−11°28′42"−84°15′39"=84°15′39"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=119,95=0,9
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,905⋅ 112⋅ 10⋅ 10=5,03
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 102−22=9,95 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 22−102=5,196 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 102−102=5,196
Vypočítat další trojúhelník