Trojúhelník 2 10 11
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 2 b = 10 c = 11Obsah trojúhelníku: S = 9,05219334951
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5
Úhel ∠ A = α = 9,47328720666° = 9°28'22″ = 0,16553328072 rad
Úhel ∠ B = β = 55,37664645208° = 55°22'35″ = 0,9676501634 rad
Úhel ∠ C = γ = 115,15106634125° = 115°9'2″ = 2,01097582124 rad
Výška trojúhelníku: va = 9,05219334951
Výška trojúhelníku: vb = 1,8110386699
Výška trojúhelníku: vc = 1,646580609
Těžnice: ta = 10,46442247682
Těžnice: tb = 6,1243724357
Těžnice: tc = 4,66436895265
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,78771246517
Poloměr opsané kružnice: R = 6,07660499433
Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[1,13663636364; 1,646580609]
Těžiště: T[4,04554545455; 0,549860203]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -2,58223212259]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,78771246517]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 170,52771279334° = 170°31'38″ = 0,16553328072 rad
∠ B' = β' = 124,62435354792° = 124°37'25″ = 0,9676501634 rad
∠ C' = γ' = 64,84993365875° = 64°50'58″ = 2,01097582124 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=10 c=11
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=2+10+11=23
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=223=11,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−2)(11,5−10)(11,5−11) S=81,94=9,05
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 9,05=9,05 vb=b2 S=102⋅ 9,05=1,81 vc=c2 S=112⋅ 9,05=1,65
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 11102+112−22)=9°28′22" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 1122+112−102)=55°22′35" γ=180°−α−β=180°−9°28′22"−55°22′35"=115°9′2"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=11,59,05=0,79
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,787⋅ 11,52⋅ 10⋅ 11=6,08
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 112−22=10,464 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 22−102=6,124 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 102−112=4,664
Vypočítat další trojúhelník