Trojúhelník 2 12 13
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 2 b = 12 c = 13Obsah trojúhelníku: S = 10,79106209275
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Úhel ∠ A = α = 7,95218754307° = 7°57'7″ = 0,1398786408 rad
Úhel ∠ B = β = 56,1043644797° = 56°6'13″ = 0,97991933241 rad
Úhel ∠ C = γ = 115,94444797724° = 115°56'40″ = 2,02436129215 rad
Výška trojúhelníku: va = 10,79106209275
Výška trojúhelníku: vb = 1,79884368212
Výška trojúhelníku: vc = 1,66600955273
Těžnice: ta = 12,47699639133
Těžnice: tb = 7,10663352018
Těžnice: tc = 5,63547138348
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,79993052539
Poloměr opsané kružnice: R = 7,22884996873
Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[1,11553846154; 1,66600955273]
Těžiště: T[4,70551282051; 0,55333651758]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; -3,16224686132]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,79993052539]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 172,04881245693° = 172°2'53″ = 0,1398786408 rad
∠ B' = β' = 123,8966355203° = 123°53'47″ = 0,97991933241 rad
∠ C' = γ' = 64,05655202276° = 64°3'20″ = 2,02436129215 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=12 c=13
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=2+12+13=27
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−2)(13,5−12)(13,5−13) S=116,44=10,79
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 10,79=10,79 vb=b2 S=122⋅ 10,79=1,8 vc=c2 S=132⋅ 10,79=1,66
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 13122+132−22)=7°57′7" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 1322+132−122)=56°6′13" γ=180°−α−β=180°−7°57′7"−56°6′13"=115°56′40"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=13,510,79=0,8
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,799⋅ 13,52⋅ 12⋅ 13=7,23
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 132−22=12,47 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 22−122=7,106 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 122−132=5,635
Vypočítat další trojúhelník