Trojúhelník 2 13 14

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 2 b = 13 c = 14

Obsah trojúhelníku: S = 11,65992238164
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Úhel ∠ A = α = 7,36111606635° = 7°21'40″ = 0,12884764903 rad
Úhel ∠ B = β = 56,38876254015° = 56°23'15″ = 0,98441497206 rad
Úhel ∠ C = γ = 116,2511213935° = 116°15'4″ = 2,02989664426 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 11,65992238164
Výška trojúhelníku: v_b = 1,7943726741
Výška trojúhelníku: v_c = 1,66656034023

Těžnice: t_a = 13,47221935853
Těžnice: t_b = 7,59993420768
Těžnice: t_c = 6,1243724357

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,80440844011
Poloměr opsané kružnice: R = 7,80549792536

Souřadnice vrcholů: A[14; 0] B[0; 0] C[1,10771428571; 1,66656034023]
Těžiště: T[5,03657142857; 0,55552011341]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7; -3,45222023622]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,80440844011]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 172,63988393365° = 172°38'20″ = 0,12884764903 rad
∠ B' = β' = 123,61223745985° = 123°36'45″ = 0,98441497206 rad
∠ C' = γ' = 63,7498786065° = 63°44'56″ = 2,02989664426 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 2 b = 13 c = 14

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 2 + 13 + 14 = 29

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9}{2} = 14, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 5 (14, 5 - 2) (14, 5 - 13) (14, 5 - 14) S = 135, 94 = 11, 66

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 , 6 6}{2} = 11, 66 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 , 6 6}{1 3} = 1, 79 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 , 6 6}{1 4} = 1, 67

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 4 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 4}) = 7 ° 2 1^{'} 40 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 1 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 1 4}) = 56 ° 2 3^{'} 15 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 7 ° 2 1^{'} 40 " - 56 ° 2 3^{'} 15 " = 116 ° 1 5^{'} 4 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 , 6 6}{1 4 , 5} = 0, 8

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 1 3 \cdot 1 4}{4 \cdot 0 , 8 0 4 \cdot 1 4 , 5} = 7, 8

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 13, 472 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 7, 599 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 6, 124

Vypočítat další trojúhelník