Trojúhelník 2 3 3
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Strany: a = 2 b = 3 c = 3Obsah trojúhelníku: S = 2,82884271247
Obvod trojúhelníku: o = 8
Semiperimeter (poloobvod): s = 4
Úhel ∠ A = α = 38,9422441269° = 38°56'33″ = 0,68796738189 rad
Úhel ∠ B = β = 70,52987793655° = 70°31'44″ = 1,23109594173 rad
Úhel ∠ C = γ = 70,52987793655° = 70°31'44″ = 1,23109594173 rad
Výška trojúhelníku: va = 2,82884271247
Výška trojúhelníku: vb = 1,88656180832
Výška trojúhelníku: vc = 1,88656180832
Těžnice: ta = 2,82884271247
Těžnice: tb = 2,06215528128
Těžnice: tc = 2,06215528128
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,70771067812
Poloměr opsané kružnice: R = 1,59109902577
Souřadnice vrcholů: A[3; 0] B[0; 0] C[0,66766666667; 1,88656180832]
Těžiště: T[1,22222222222; 0,62985393611]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1,5; 0,53303300859]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1; 0,70771067812]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 141,0587558731° = 141°3'27″ = 0,68796738189 rad
∠ B' = β' = 109,47112206345° = 109°28'16″ = 1,23109594173 rad
∠ C' = γ' = 109,47112206345° = 109°28'16″ = 1,23109594173 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=3 c=3
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=2+3+3=8
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=28=4
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=4(4−2)(4−3)(4−3) S=8=2,83
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 2,83=2,83 vb=b2 S=32⋅ 2,83=1,89 vc=c2 S=32⋅ 2,83=1,89
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 3⋅ 332+32−22)=38°56′33" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 322+32−32)=70°31′44" γ=180°−α−β=180°−38°56′33"−70°31′44"=70°31′44"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=42,83=0,71
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,707⋅ 42⋅ 3⋅ 3=1,59
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 32+2⋅ 32−22=2,828 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 32+2⋅ 22−32=2,062 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 32−32=2,062
Vypočítat další trojúhelník