Trojúhelník 2 3 4

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 2 b = 3 c = 4

Obsah trojúhelníku: S = 2,90547375097
Obvod trojúhelníku: o = 9
Semiperimeter (poloobvod): s = 4,5

Úhel ∠ A = α = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Úhel ∠ B = β = 46,56774634422° = 46°34'3″ = 0,81327555614 rad
Úhel ∠ C = γ = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,82334765819 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 2,90547375097
Výška trojúhelníku: v_b = 1,93664916731
Výška trojúhelníku: v_c = 1,45223687548

Těžnice: t_a = 3,39111649916
Těžnice: t_b = 2,78438821814
Těžnice: t_c = 1,58111388301

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,64554972244
Poloměr opsané kružnice: R = 2,0665591118

Souřadnice vrcholů: A[4; 0] B[0; 0] C[1,375; 1,45223687548]
Těžiště: T[1,79216666667; 0,48441229183]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2; -0,51663977795]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,64554972244]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ B' = β' = 133,43325365578° = 133°25'57″ = 0,81327555614 rad
∠ C' = γ' = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,82334765819 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 2 b = 3 c = 4

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 2 + 3 + 4 = 9

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{9}{2} = 4, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 4, 5 (4, 5 - 2) (4, 5 - 3) (4, 5 - 4) S = 8, 44 = 2, 9

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 , 9}{2} = 2, 9 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 , 9}{3} = 1, 94 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 , 9}{4} = 1, 45

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 4 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 4}) = 28 ° 5 7^{'} 18 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 4 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 4}) = 46 ° 3 4^{'} 3 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 28 ° 5 7^{'} 18 " - 46 ° 3 4^{'} 3 " = 104 ° 2 8^{'} 39 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 , 9}{4 , 5} = 0, 65

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{4 \cdot 0 , 6 4 5 \cdot 4 , 5} = 2, 07

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 3, 391 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 2, 784 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 1, 581

Vypočítat další trojúhelník