Trojúhelník 2 5 6

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 2 b = 5 c = 6

Obsah trojúhelníku: S = 4,68437484988
Obvod trojúhelníku: o = 13
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,5

Úhel ∠ A = α = 18,19548723388° = 18°11'42″ = 0,31875604293 rad
Úhel ∠ B = β = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 0,89656647939 rad
Úhel ∠ C = γ = 110,48773151147° = 110°29'14″ = 1,92883674304 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 4,68437484988
Výška trojúhelníku: v_b = 1,87334993995
Výška trojúhelníku: v_c = 1,56112494996

Těžnice: t_a = 5,43113902456
Těžnice: t_b = 3,70880992435
Těžnice: t_c = 2,34552078799

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,72105766921
Poloměr opsané kružnice: R = 3,20325630761

Souřadnice vrcholů: A[6; 0] B[0; 0] C[1,25; 1,56112494996]
Těžiště: T[2,41766666667; 0,52204164999]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3; -1,12108970766]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,72105766921]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 161,80551276612° = 161°48'18″ = 0,31875604293 rad
∠ B' = β' = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 0,89656647939 rad
∠ C' = γ' = 69,51326848853° = 69°30'46″ = 1,92883674304 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 2 b = 5 c = 6

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 2 + 5 + 6 = 13

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 3}{2} = 6, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 6, 5 (6, 5 - 2) (6, 5 - 5) (6, 5 - 6) S = 21, 94 = 4, 68

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 , 6 8}{2} = 4, 68 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 , 6 8}{5} = 1, 87 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 , 6 8}{6} = 1, 56

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 6 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 6}) = 18 ° 1 1^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 6 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 6}) = 51 ° 1 9^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 18 ° 1 1^{'} 42 " - 51 ° 1 9^{'} 4 " = 110 ° 2 9^{'} 14 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 , 6 8}{6 , 5} = 0, 72

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 0 , 7 2 1 \cdot 6 , 5} = 3, 2

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 5, 431 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 3, 708 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 2, 345

Vypočítat další trojúhelník