Trojúhelník 2 6 7
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 2 b = 6 c = 7Obsah trojúhelníku: S = 5,56221488653
Obvod trojúhelníku: o = 15
Semiperimeter (poloobvod): s = 7,5
Úhel ∠ A = α = 15,35988855808° = 15°21'32″ = 0,26880631228 rad
Úhel ∠ B = β = 52,61768015821° = 52°37' = 0,91883364295 rad
Úhel ∠ C = γ = 112,0244312837° = 112°1'28″ = 1,95551931013 rad
Výška trojúhelníku: va = 5,56221488653
Výška trojúhelníku: vb = 1,85440496218
Výška trojúhelníku: vc = 1,58991853901
Těžnice: ta = 6,44220493634
Těžnice: tb = 4,18333001327
Těžnice: tc = 2,78438821814
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,74216198487
Poloměr opsané kružnice: R = 3,77655192298
Souřadnice vrcholů: A[7; 0] B[0; 0] C[1,21442857143; 1,58991853901]
Těžiště: T[2,73880952381; 0,53297284634]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,5; -1,41658197112]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,74216198487]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,64111144192° = 164°38'28″ = 0,26880631228 rad
∠ B' = β' = 127,38331984179° = 127°23' = 0,91883364295 rad
∠ C' = γ' = 67,9765687163° = 67°58'32″ = 1,95551931013 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=6 c=7
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=2+6+7=15
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=215=7,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=7,5(7,5−2)(7,5−6)(7,5−7) S=30,94=5,56
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 5,56=5,56 vb=b2 S=62⋅ 5,56=1,85 vc=c2 S=72⋅ 5,56=1,59
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 762+72−22)=15°21′32" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 722+72−62)=52°37′ γ=180°−α−β=180°−15°21′32"−52°37′=112°1′28"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=7,55,56=0,74
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,742⋅ 7,52⋅ 6⋅ 7=3,78
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 72−22=6,442 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 72+2⋅ 22−62=4,183 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 62−72=2,784
Vypočítat další trojúhelník