Trojúhelník 2 7 8

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 2
b = 7
c = 8

Obsah trojúhelníku: S = 6,43771965948
Obvod trojúhelníku: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5

Úhel ∠ A = α = 13,2911177243° = 13°17'28″ = 0,23219748044 rad
Úhel ∠ B = β = 53,57664263577° = 53°34'35″ = 0,93550850414 rad
Úhel ∠ C = γ = 113,13223963993° = 113°7'57″ = 1,97545328078 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 6,43771965948
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 1,83991990271
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 1,60992991487

Těžnice: t_a = 7,45498322129
Těžnice: t_b = 4,66436895265
Těžnice: t_c = 3,24403703492

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,75773172464
Poloměr opsané kružnice: R = 4,35497195693

Souřadnice vrcholů: A[8; 0] B[0; 0] C[1,18875; 1,60992991487]
Těžiště: T[3,06325; 0,53664330496]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4; -1,70988184022]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,75773172464]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 166,7098822757° = 166°42'32″ = 0,23219748044 rad
∠ B' = β' = 126,42435736423° = 126°25'25″ = 0,93550850414 rad
∠ C' = γ' = 66,86876036007° = 66°52'3″ = 1,97545328078 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 2 b = 7 c = 8

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 2 + 7 + 8 = 17

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 7}{2} = 8, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 8, 5 (8, 5 - 2) (8, 5 - 7) (8, 5 - 8) S = 41, 44 = 6, 44

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 , 4 4}{2} = 6, 44 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 , 4 4}{7} = 1, 84 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 , 4 4}{8} = 1, 61

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 8 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 8}) = 13 ° 1 7^{'} 28 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 8 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 8}) = 53 ° 3 4^{'} 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 13 ° 1 7^{'} 28 " - 53 ° 3 4^{'} 35 " = 113 ° 7^{'} 57 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 , 4 4}{8 , 5} = 0, 76

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 8}{4 \cdot 0 , 7 5 7 \cdot 8 , 5} = 4, 35

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 7, 45 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 4, 664 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 3, 24

Vypočítat další trojúhelník