Trojúhelník 2 8 9
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 2 b = 8 c = 9Obsah trojúhelníku: S = 7,31100957586
Obvod trojúhelníku: o = 19
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,5
Úhel ∠ A = α = 11,71658523949° = 11°42'57″ = 0,2044480199 rad
Úhel ∠ B = β = 54,31546652873° = 54°18'53″ = 0,94879697414 rad
Úhel ∠ C = γ = 113,96994823178° = 113°58'10″ = 1,98991427132 rad
Výška trojúhelníku: va = 7,31100957586
Výška trojúhelníku: vb = 1,82875239397
Výška trojúhelníku: vc = 1,62444657241
Těžnice: ta = 8,45657672626
Těžnice: tb = 5,14878150705
Těžnice: tc = 3,70880992435
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,76994837641
Poloměr opsané kružnice: R = 4,925469609
Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[1,16766666667; 1,62444657241]
Těžiště: T[3,38988888889; 0,54114885747]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; -2,00106577866]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,76994837641]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 168,28441476051° = 168°17'3″ = 0,2044480199 rad
∠ B' = β' = 125,68553347127° = 125°41'7″ = 0,94879697414 rad
∠ C' = γ' = 66,03105176822° = 66°1'50″ = 1,98991427132 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=8 c=9
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=2+8+9=19
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=219=9,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=9,5(9,5−2)(9,5−8)(9,5−9) S=53,44=7,31
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 7,31=7,31 vb=b2 S=82⋅ 7,31=1,83 vc=c2 S=92⋅ 7,31=1,62
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 982+92−22)=11°42′57" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 922+92−82)=54°18′53" γ=180°−α−β=180°−11°42′57"−54°18′53"=113°58′10"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=9,57,31=0,77
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,769⋅ 9,52⋅ 8⋅ 9=4,92
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 92−22=8,456 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 22−82=5,148 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 82−92=3,708
Vypočítat další trojúhelník