Trojúhelník 2 9 10




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 2   b = 9   c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 8,1821534086
Obvod trojúhelníku: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5

Úhel ∠ A = α = 10,47553138432° = 10°28'31″ = 0,18328287167 rad
Úhel ∠ B = β = 54.99003678046° = 54°54'1″ = 0,95881921787 rad
Úhel ∠ C = γ = 114,62443183522° = 114°37'28″ = 2,00105717581 rad

Výška trojúhelníku: va = 8,1821534086
Výška trojúhelníku: vb = 1,81881186858
Výška trojúhelníku: vc = 1,63663068172

Těžnice: ta = 9,46604439642
Těžnice: tb = 5,63547138348
Těžnice: tc = 4,18333001327

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,77991937225
Poloměr opsané kružnice: R = 5.55001909822

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[1,15; 1,63663068172]
Těžiště: T[3,71766666667; 0,54554356057]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; -2,29217462426]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 0,77991937225]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 169,52546861568° = 169°31'29″ = 0,18328287167 rad
∠ B' = β' = 125.10996321954° = 125°5'59″ = 0,95881921787 rad
∠ C' = γ' = 65,37656816478° = 65°22'32″ = 2,00105717581 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=9 c=10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=2+9+10=21

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=221=10,5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=10,5(10,52)(10,59)(10,510) S=66,94=8,18

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=22 8,18=8,18 vb=b2 S=92 8,18=1,82 vc=c2 S=102 8,18=1,64

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 9 1092+10222)=10°2831"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 2 1022+10292)=54°541" γ=180°αβ=180°10°2831"54°541"=114°3728"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=10,58,18=0,78

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 0,779 10,52 9 10=5,5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 92+2 10222=9,46 tb=22c2+2a2b2=22 102+2 2292=5,635 tc=22a2+2b2c2=22 22+2 92102=4,183

Vypočítat další trojúhelník