Trojúhelník 3 10 10
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 3
b = 10
c = 10
Obsah trojúhelníku: S = 14,833028995
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5
Úhel ∠ A = α = 17,25438531174° = 17°15'14″ = 0,30111365456 rad
Úhel ∠ B = β = 81,37330734413° = 81°22'23″ = 1,4220228054 rad
Úhel ∠ C = γ = 81,37330734413° = 81°22'23″ = 1,4220228054 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 9,88768599666
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 2,966605799
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,966605799
Těžnice: ta = 9,88768599666
Těžnice: tb = 5,43113902456
Těžnice: tc = 5,43113902456
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,29895904304
Poloměr opsané kružnice: R = 5,05772173742
Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[0,45; 2,966605799]
Těžiště: T[3,48333333333; 0,98986859967]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 0,75985826061]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 1,29895904304]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 162,74661468826° = 162°44'46″ = 0,30111365456 rad
∠ B' = β' = 98,62769265587° = 98°37'37″ = 1,4220228054 rad
∠ C' = γ' = 98,62769265587° = 98°37'37″ = 1,4220228054 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=10 c=10
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=3+10+10=23
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=223=11,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−3)(11,5−10)(11,5−10) S=219,94=14,83
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 14,83=9,89 vb=b2 S=102⋅ 14,83=2,97 vc=c2 S=102⋅ 14,83=2,97
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 10102+102−32)=17°15′14" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 1032+102−102)=81°22′23" γ=180°−α−β=180°−17°15′14"−81°22′23"=81°22′23"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=11,514,83=1,29
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,29⋅ 11,53⋅ 10⋅ 10=5,06
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 102−32=9,887 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 32−102=5,431 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 102−102=5,431
Vypočítat další trojúhelník