Trojúhelník 3 10 12

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 3 b = 10 c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 12,1833492931
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5

Úhel ∠ A = α = 11,71658523949° = 11°42'57″ = 0,2044480199 rad
Úhel ∠ B = β = 42,59988128925° = 42°35'56″ = 0,74334895424 rad
Úhel ∠ C = γ = 125,68553347127° = 125°41'7″ = 2,19436229122 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 8,12223286207
Výška trojúhelníku: v_b = 2,43766985862
Výška trojúhelníku: v_c = 2,03105821552

Těžnice: t_a = 10,94330343141
Těžnice: t_b = 7,17663500472
Těžnice: t_c = 4,30111626335

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,97546794345
Poloměr opsané kružnice: R = 7,3877044135

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[2,20883333333; 2,03105821552]
Těžiště: T[4,73661111111; 0,67768607184]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -4,30991090788]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 0,97546794345]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 168,28441476051° = 168°17'3″ = 0,2044480199 rad
∠ B' = β' = 137,40111871075° = 137°24'4″ = 0,74334895424 rad
∠ C' = γ' = 54,31546652873° = 54°18'53″ = 2,19436229122 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3 b = 10 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3 + 10 + 12 = 25

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5}{2} = 12, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 5 (12, 5 - 3) (12, 5 - 10) (12, 5 - 12) S = 148, 44 = 12, 18

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 , 1 8}{3} = 8, 12 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 , 1 8}{1 0} = 2, 44 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 , 1 8}{1 2} = 2, 03

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 2 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 2}) = 11 ° 4 2^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 1 2}) = 42 ° 3 5^{'} 56 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 11 ° 4 2^{'} 57 " - 42 ° 3 5^{'} 56 " = 125 ° 4 1^{'} 7 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 , 1 8}{1 2 , 5} = 0, 97

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 1 0 \cdot 1 2}{4 \cdot 0 , 9 7 5 \cdot 1 2 , 5} = 7, 39

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 10, 943 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 7, 176 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 4, 301

Vypočítat další trojúhelník