Trojúhelník 3 11 11
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Strany: a = 3 b = 11 c = 11Obsah trojúhelníku: S = 16,34658710383
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Úhel ∠ A = α = 15,67549595262° = 15°40'30″ = 0,27435796538 rad
Úhel ∠ B = β = 82,16325202369° = 82°9'45″ = 1,43440064999 rad
Úhel ∠ C = γ = 82,16325202369° = 82°9'45″ = 1,43440064999 rad
Výška trojúhelníku: va = 10,89772473589
Výška trojúhelníku: vb = 2,97219765524
Výška trojúhelníku: vc = 2,97219765524
Těžnice: ta = 10,89772473589
Těžnice: tb = 5,89549130613
Těžnice: tc = 5,89549130613
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,30876696831
Poloměr opsané kružnice: R = 5,55218607597
Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[0,40990909091; 2,97219765524]
Těžiště: T[3,8033030303; 0,99106588508]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; 0,75770719218]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 1,30876696831]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,32550404738° = 164°19'30″ = 0,27435796538 rad
∠ B' = β' = 97,83774797631° = 97°50'15″ = 1,43440064999 rad
∠ C' = γ' = 97,83774797631° = 97°50'15″ = 1,43440064999 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=11 c=11
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=3+11+11=25
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−3)(12,5−11)(12,5−11) S=267,19=16,35
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 16,35=10,9 vb=b2 S=112⋅ 16,35=2,97 vc=c2 S=112⋅ 16,35=2,97
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 11112+112−32)=15°40′30" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 1132+112−112)=82°9′45" γ=180°−α−β=180°−15°40′30"−82°9′45"=82°9′45"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=12,516,35=1,31
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,308⋅ 12,53⋅ 11⋅ 11=5,55
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 112−32=10,897 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 32−112=5,895 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 112−112=5,895
Vypočítat další trojúhelník