Trojúhelník 3 11 12

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 3 b = 11 c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 16,12545154966
Obvod trojúhelníku: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Úhel ∠ A = α = 14,14111102339° = 14°8'28″ = 0,24768089335 rad
Úhel ∠ B = β = 63,61222000388° = 63°36'44″ = 1,11102423351 rad
Úhel ∠ C = γ = 102,24766897273° = 102°14'48″ = 1,7854541385 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 10,75496769977
Výška trojúhelníku: v_b = 2,93217300903
Výška trojúhelníku: v_c = 2,68774192494

Těžnice: t_a = 11,41327122105
Těžnice: t_b = 6,80107352544
Těžnice: t_c = 5,38551648071

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,24403473459
Poloměr opsané kružnice: R = 6,14397193622

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[1,33333333333; 2,68774192494]
Těžiště: T[4,44444444444; 0,89658064165]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -1,30223647132]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 1,24403473459]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,85988897661° = 165°51'32″ = 0,24768089335 rad
∠ B' = β' = 116,38877999612° = 116°23'16″ = 1,11102423351 rad
∠ C' = γ' = 77,75333102727° = 77°45'12″ = 1,7854541385 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3 b = 11 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3 + 11 + 12 = 26

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 6}{2} = 13

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13 (13 - 3) (13 - 11) (13 - 12) S = 260 = 16, 12

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6 , 1 2}{3} = 10, 75 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6 , 1 2}{1 1} = 2, 93 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6 , 1 2}{1 2} = 2, 69

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 2 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 2}) = 14 ° 8^{'} 28 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 1 2}) = 63 ° 3 6^{'} 44 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 8^{'} 28 " - 63 ° 3 6^{'} 44 " = 102 ° 1 4^{'} 48 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6 , 1 2}{1 3} = 1, 24

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 1 1 \cdot 1 2}{4 \cdot 1 , 2 4 \cdot 1 3} = 6, 14

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 11, 413 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 6, 801 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 5, 385

Vypočítat další trojúhelník