Trojúhelník 3 11 13

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 11
c = 13

Obsah trojúhelníku: S = 13,3111179512
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5

Úhel ∠ A = α = 10,72993735799° = 10°43'46″ = 0,18772628956 rad
Úhel ∠ B = β = 43,04990798002° = 43°2'57″ = 0,75113481825 rad
Úhel ∠ C = γ = 126,22215466198° = 126°13'18″ = 2,20329815755 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 8,87441196746
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 2,42202144567
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,04878737711

Těžnice: t_a = 11,94878031453
Těžnice: t_b = 7,66548548584
Těžnice: t_c = 4,77696960071

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,98660132972
Poloměr opsané kružnice: R = 8,05771372284

Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[2,19223076923; 2,04878737711]
Těžiště: T[5,06441025641; 0,68326245904]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; -4,7611035635]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 0,98660132972]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 169,27106264201° = 169°16'14″ = 2,95443297579 rad
∠ B' = β' = 136,95109201998° = 136°57'3″ = 2,39902444711 rad
∠ C' = γ' = 53,77884533802° = 53°46'42″ = 0,93986110781 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3 b = 11 c = 13

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3 + 11 + 13 = 27

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 7}{2} = 13, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 5 (13, 5 - 3) (13, 5 - 11) (13, 5 - 13) S = 13, 5 \cdot 10, 5 \cdot 2, 5 \cdot 0, 5 S = 177, 19 = 13, 311

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 , 3 1 1}{3} = 8, 874 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 , 3 1 1}{1 1} = 2, 42 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 , 3 1 1}{1 3} = 2, 048

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 3 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 3}) = 10 ° 4 3^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 1 3}) = 43 ° 2^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 10 ° 4 3^{'} 46 " - 43 ° 2^{'} 57 " = 126 ° 1 3^{'} 18 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 , 3 1 1}{1 3 , 5} = 0, 986

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 1 1 \cdot 1 3}{4 \cdot 0 , 9 8 6 \cdot 1 3 , 5} = 8, 057

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 11, 948 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 7, 665 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 4, 77

Vypočítat další trojúhelník