Trojúhelník 3 11 13
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 3 b = 11 c = 13Obsah trojúhelníku: S = 13,3111179512
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Úhel ∠ A = α = 10,72993735799° = 10°43'46″ = 0,18772628956 rad
Úhel ∠ B = β = 43,04990798002° = 43°2'57″ = 0,75113481825 rad
Úhel ∠ C = γ = 126,22215466198° = 126°13'18″ = 2,20329815755 rad
Výška trojúhelníku: va = 8,87441196746
Výška trojúhelníku: vb = 2,42202144567
Výška trojúhelníku: vc = 2,04878737711
Těžnice: ta = 11,94878031453
Těžnice: tb = 7,66548548584
Těžnice: tc = 4,77696960071
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,98660132972
Poloměr opsané kružnice: R = 8,05771372284
Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[2,19223076923; 2,04878737711]
Těžiště: T[5,06441025641; 0,68326245904]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; -4,7611035635]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 0,98660132972]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 169,27106264201° = 169°16'14″ = 0,18772628956 rad
∠ B' = β' = 136,95109201998° = 136°57'3″ = 0,75113481825 rad
∠ C' = γ' = 53,77884533802° = 53°46'42″ = 2,20329815755 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=11 c=13
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=3+11+13=27
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−3)(13,5−11)(13,5−13) S=177,19=13,31
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 13,31=8,87 vb=b2 S=112⋅ 13,31=2,42 vc=c2 S=132⋅ 13,31=2,05
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 13112+132−32)=10°43′46" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 1332+132−112)=43°2′57" γ=180°−α−β=180°−10°43′46"−43°2′57"=126°13′18"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=13,513,31=0,99
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,986⋅ 13,53⋅ 11⋅ 13=8,06
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 132−32=11,948 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 32−112=7,665 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 112−132=4,77
Vypočítat další trojúhelník