Trojúhelník 3 12 12

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 3 b = 12 c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 17,85988213497
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5

Úhel ∠ A = α = 14,36215115629° = 14°21'41″ = 0,25106556623 rad
Úhel ∠ B = β = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,44554684956 rad
Úhel ∠ C = γ = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,44554684956 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 11,90658808998
Výška trojúhelníku: v_b = 2,97664702249
Výška trojúhelníku: v_c = 2,97664702249

Těžnice: t_a = 11,90658808998
Těžnice: t_b = 6,36439610307
Těžnice: t_c = 6,36439610307

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,32328756555
Poloměr opsané kružnice: R = 6,04774315681

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[0,375; 2,97664702249]
Těžiště: T[4,125; 0,99221567416]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; 0,7565928946]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 1,32328756555]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,63884884371° = 165°38'19″ = 0,25106556623 rad
∠ B' = β' = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,44554684956 rad
∠ C' = γ' = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,44554684956 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3 b = 12 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3 + 12 + 12 = 27

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 7}{2} = 13, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 5 (13, 5 - 3) (13, 5 - 12) (13, 5 - 12) S = 318, 94 = 17, 86

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 7 , 8 6}{3} = 11, 91 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 7 , 8 6}{1 2} = 2, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 7 , 8 6}{1 2} = 2, 98

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 2 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 2}) = 14 ° 2 1^{'} 41 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 1 2}) = 82 ° 4 9^{'} 9 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 2 1^{'} 41 " - 82 ° 4 9^{'} 9 " = 82 ° 4 9^{'} 9 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 7 , 8 6}{1 3 , 5} = 1, 32

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 1 2 \cdot 1 2}{4 \cdot 1 , 3 2 3 \cdot 1 3 , 5} = 6, 05

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 11, 906 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 6, 364 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 6, 364

Vypočítat další trojúhelník