Trojúhelník 3 5 6
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 3 b = 5 c = 6Obsah trojúhelníku: S = 7,48333147735
Obvod trojúhelníku: o = 14
Semiperimeter (poloobvod): s = 7
Úhel ∠ A = α = 29,92664348666° = 29°55'35″ = 0,52223148218 rad
Úhel ∠ B = β = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Úhel ∠ C = γ = 93,82325537293° = 93°49'21″ = 1,63875124752 rad
Výška trojúhelníku: va = 4,98988765157
Výška trojúhelníku: vb = 2,99333259094
Výška trojúhelníku: vc = 2,49444382578
Těžnice: ta = 5,31550729064
Těžnice: tb = 4,03111288741
Těžnice: tc = 2,82884271247
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,06990449676
Poloměr opsané kružnice: R = 3,00766889715
Souřadnice vrcholů: A[6; 0] B[0; 0] C[1,66766666667; 2,49444382578]
Těžiště: T[2,55655555556; 0,83114794193]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3; -0.22004459314]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 1,06990449676]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,07435651334° = 150°4'25″ = 0,52223148218 rad
∠ B' = β' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ C' = γ' = 86,17774462707° = 86°10'39″ = 1,63875124752 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=5 c=6
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=3+5+6=14
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=214=7
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=7(7−3)(7−5)(7−6) S=56=7,48
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 7,48=4,99 vb=b2 S=52⋅ 7,48=2,99 vc=c2 S=62⋅ 7,48=2,49
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 5⋅ 652+62−32)=29°55′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 632+62−52)=56°15′4" γ=180°−α−β=180°−29°55′35"−56°15′4"=93°49′21"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=77,48=1,07
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,069⋅ 73⋅ 5⋅ 6=3,01
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 52+2⋅ 62−32=5,315 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 62+2⋅ 32−52=4,031 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 52−62=2,828
Vypočítat další trojúhelník