Trojúhelník 3 7 9

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 7
c = 9

Obsah trojúhelníku: S = 8,78656416954
Obvod trojúhelníku: o = 19
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,5

Úhel ∠ A = α = 16,1955116739° = 16°11'42″ = 0,28326581098 rad
Úhel ∠ B = β = 40,60110607311° = 40°36'4″ = 0,70986221896 rad
Úhel ∠ C = γ = 123,204382253° = 123°12'14″ = 2,15503123542 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 5,85770944636
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 2,51101833415
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 1,95223648212

Těžnice: t_a = 7,92114897589
Těžnice: t_b = 5,72327615711
Těžnice: t_c = 2,95880398915

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,9254804389
Poloměr opsané kružnice: R = 5,3788093216

Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[2,27877777778; 1,95223648212]
Těžiště: T[3,75992592593; 0,65107882737]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; -2,94551462849]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 0,9254804389]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 163,8054883261° = 163°48'18″ = 0,28326581098 rad
∠ B' = β' = 139,39989392689° = 139°23'56″ = 0,70986221896 rad
∠ C' = γ' = 56,796617747° = 56°47'46″ = 2,15503123542 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3 b = 7 c = 9

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3 + 7 + 9 = 19

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 9}{2} = 9, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 9, 5 (9, 5 - 3) (9, 5 - 7) (9, 5 - 9) S = 77, 19 = 8, 79

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 , 7 9}{3} = 5, 86 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 , 7 9}{7} = 2, 51 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 , 7 9}{9} = 1, 95

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 9 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 9}) = 16 ° 1 1^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 9}) = 40 ° 3 6^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 16 ° 1 1^{'} 42 " - 40 ° 3 6^{'} 4 " = 123 ° 1 2^{'} 14 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 , 7 9}{9 , 5} = 0, 92

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 9}{4 \cdot 0 , 9 2 5 \cdot 9 , 5} = 5, 38

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 7, 921 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 5, 723 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 2, 958

Vypočítat další trojúhelník