Trojúhelník 3 8 10

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 8
c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 9,92215674165
Obvod trojúhelníku: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5

Úhel ∠ A = α = 14,36215115629° = 14°21'41″ = 0,25106556623 rad
Úhel ∠ B = β = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Úhel ∠ C = γ = 124,22988663278° = 124°13'44″ = 2,16882027434 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 6,61443782777
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 2,48803918541
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 1,98443134833

Těžnice: t_a = 8,93302855497
Těžnice: t_b = 6,2054836823
Těžnice: t_c = 3,39111649916

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,94549111825
Poloměr opsané kružnice: R = 6,04774315681

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[2,25; 1,98443134833]
Těžiště: T[4,08333333333; 0,66114378278]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; -3,40216802571]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 0,94549111825]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,63884884371° = 165°38'19″ = 0,25106556623 rad
∠ B' = β' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ C' = γ' = 55,77111336722° = 55°46'16″ = 2,16882027434 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3 b = 8 c = 10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3 + 8 + 10 = 21

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 1}{2} = 10, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 10, 5 (10, 5 - 3) (10, 5 - 8) (10, 5 - 10) S = 98, 44 = 9, 92

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 , 9 2}{3} = 6, 61 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 , 9 2}{8} = 2, 48 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 , 9 2}{1 0} = 1, 98

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 0 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 0}) = 14 ° 2 1^{'} 41 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 1 0 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 1 0}) = 41 ° 2 4^{'} 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 2 1^{'} 41 " - 41 ° 2 4^{'} 35 " = 124 ° 1 3^{'} 44 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 , 9 2}{1 0 , 5} = 0, 94

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 1 0}{4 \cdot 0 , 9 4 5 \cdot 1 0 , 5} = 6, 05

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 8, 93 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 6, 205 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 3, 391

Vypočítat další trojúhelník